2019版 第1部分 专题1 第2讲　解三角形

第2讲解三角形高考统计定方向热点题型真题统计题型1：利用正、余弦定理解三角形2019全国卷T17；2019全国卷T16；2019全国卷T9；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T13题型2：与三角形有关的最值范围问题2019全国卷T16；2019全国卷T16题型3：与解三角形有关的交汇问题2019全国卷T8；2019全国卷T17命题规律分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1.解三角形是每年必考题，重点考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用.2.解三角形常与三角恒等变换、平面几何图形、向量等知识交汇命题.3.若以解答题形式出现主要是考查三角函数与解三角形的综合问题，一般位于第17题.题型1利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第13页)核心知识储备1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC外接圆的半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A，a2(bc)22bc(1cos A)3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B高考考法示例【例1】(1)(2019全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4BCD2(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B()ABCD(3)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面积为，求ABC的周长(1)A(2)A(1)因为cos C2cos2121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故选A(2)由bsin Basin Aasin C及正弦定理可得b2a2ac，即b2a2ac，c2a，a2c2b2a24a2a2a2a3a2，故cos B，又0B，sin B.故选A(3)解2cos C(acos Bbcos A)c，由正弦定理得：2cos C(sin A cos Bsin B cos A)sin C，即2cos C sin(AB)sin C，ABC，A，B，C(0，)，sin(AB)sin C0，2cos C1，cos C，C(0，)，C.由余弦定理得：c2a2b22abcos C，7a2b22ab，(ab)23ab7，Sabsin Cab，ab6，(ab)2187，ab5.ABC周长为abc5.方法归纳1关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，只是角的范围受到了限制同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2(ac)22ac经常用到3对于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解4三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角注意：已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理求第三边时，应注意检验，否则易产生增根对点即时训练1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Abcos B，则ABC为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D由题得sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，sin 2Asin 2B，02A2，02B2，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，AB，或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选D2(2019全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.题型2与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14页)核心知识储备1ABC中的常见的不等关系(1)内角A，B，C 满足：ABC，0A，B，C；(2)三边a，b，c满足：bcabc；(3)三角形中大边对大角等2函数ysin x(或ycos x)的有界性、单调性、在区间a，b上的值域的求法等3不等式：a2b22ab，ab等高考考法示例角度一长度的最值(范围)问题【例21】(2019石家庄一模)在ABC中，AB2，C，则ACBC的最大值为( )A B2 C3 D4D由正弦定理，得4，又AB，ACBC4sin B4sin A4sin B4sin4sin B42cos B10sin B4sin.故当B时， ACBC的最大值为4.故选D【教师备选】(2019安庆二模)在锐角ABC中，A2B，则的取值范围是( )A(1,3)B(1,3)C(，)D(1,2)D34sin2B，因为ABC是锐角三角形，所以得Bsin2 B .所以34sin2 B(1,2)故选D角度二面积的最值(范围)问题【例22】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由题意及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B ， 又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C ，由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【教师备选】在ABC中，ABAC，D为AC中点，BD1，则ABC面积的最大值为_在ABD中，由余弦定理得cos A，则sin A， 所以ABC的面积为Sb2sin Ab2，所以ABC的面积的最大值为.方法归纳与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略与三角形有关的最值(范围)问题一般涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下：策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如yAsin(x)(或yAcos(x)的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解.策略二：借助正余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助均值不等式对含有a2b2，ab，ab的等式求最值.对点即时训练1在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6B(3,5)C(5,6D5,6C由(ab)(sin Asin B)(cb)sin C及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A，A，2，b2c24(sin2 Bsin2 C)4sin2 Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.ABC是锐角三角形，B，2B，sin1，5b2c26.故选C2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足2，若B，AD3，则2ac的最大值为_6在ABC中，如图所示，由点D满足2，点D在BC的延长线上且|2|，由余弦定理得c2(2a)222accos 32，(2ac)2932ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236，2ac6，当且仅当2ac，即a，c3时，2ac取得最大值，最大值为6.题型3与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15页)核心知识储备解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系高考考法示例【例3】(1)在ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若|3，6，则ABC面积的最大值为_(2)如图215，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC图215求sinABD的值；若BCD，求CD的长(1)因为|3，所以|AB|3，又因为6，所以abcos C6，cos C由余弦定理得9a2b22abcos Ca2b2122ab12.ab.所以Sabsin Cabab.故面积的最大值为.(2)解ADAB23，可设AD2k，AB3k.又BD，DAB.由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，AD2，AB3，sinABD.ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.【教师备选】(1)在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为( )ABCD3(2)(2019湖北八校联考)如图216，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AC，ABC，ACD.图216求sinBAC；求DC的长(1)B设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0b，所以B角一定是锐角，所以B.再由，sin C，C或C，当C，A，a2，当C，为等腰三角形，所以a1，选C5(2019甘肃诊断性考试)设ABC的面积为S，若1，tan A2，则S()A1B2CDA若1，即bccos A1，tan A2cos Abc，s