3.4.2圆周角定理的推论23

第2课时圆周角定理的推论2，3关键问答圆周角定理的推论有哪些？圆的内接四边形有什么性质？1从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()A B C D 图34152.如图3416，AB是O的直径，C，D是圆周上的两点已知AC7，BC24，AD15，则BD_图34163.如图3417，四边形ABCD内接于O，若BAD110，则C的度数是_图3417命题点 1利用圆周角的推论2进行计算与证明热度：99%4.如图3418，ABCD的顶点A，B，D在O上，顶点C在O的直径BE上，连接AE，E36，则ADC的度数是()图3418A44 B54 C72 D53方法点拨求与圆有关的角的度数时，一般情况下，都是利用圆周角定理及其推论1.特别地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.如图3419，AB是O的直径，CD是弦，且ABCD，若AB8，ABC30，则弦AD的长为()图3419A. B4 C2 D8方法点拨见直径，构造直径所对的圆周角.62019咸宁如图3420，已知O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是AOB，COD，若AOB与COD互补，弦CD6，则弦AB的长为()图3420A6 B8 C5 D5 7.如图3421，半径为3的A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC的值为()图3421A. B2C. D.方法点拨求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：构造含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8如图3422，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点D，交BC于点E，连接AE，ED，则下列结论中不一定正确的是()图3422AAEBC BBEECCEDEC DBACEDC知识链接等腰三角形三线合一9已知：如图3423，ABC的顶点都在O上，AB为直径，CBA的平分线交AC于点F，交O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：DACDBA；(2)求证：P是线段AF的中点；(3)若O的半径为5，AF，求tanABF的值图3423命题点 2圆内接四边形的相关计算与证明热度：92%10如图3424所示，四边形ABCD内接于O，F是弧CD上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若ABC105，BAC25，则E的度数为()图3424A45 B50 C55 D6011.如图3425，已知四边形ABCD内接于半径为4的O中，且C2A，则BD_图3425方法点拨计算弦长，通常需要构造直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12已知：如图3426，四边形ABCD内接于O，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分CDF.(1)求证：ABAC；(2)若AC3 cm，AD2 cm，求DE的长图342613.如图3427所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且DE.(1)求证：DCBE；(2)求证：CBCE；(3)设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MBMC，求证：ADE为等边三角形图3427方法点拨欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60的等腰三角形.14.如图3428，已知O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧AB与优弧AmB上的任一点(点C，D均不与点A，B重合)(1)求ACB的度数；(2)求ABD的最大面积图3428解题突破(1)题中出现半径长和弦长，要联想到垂径定理，再想办法利用边的关系求角的度数；(2)要求ABD的最大面积，AB是定值，只需使AB边上的高最大即可.15.如图3429，在RtABC中，ABBC，AB6，BC4.P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段CP长的最小值为()图3429A. B2C. D.解题突破根据三角形内角和与已知条件求出APB90，由圆周角定理的推论判断出动点P的轨迹为以AB为直径的圆在ABC内的弧，则可把问题转化为圆外一点与圆上动点的距离最值问题方法点拨在动态问题中求两点之间距离的最值问题，一般应先确定动点的运动规律，再运用相关知识求解.16.如图3430，A，P，B，C是O上四点，APCCPB60.(1)判断ABC的形状，并证明你的结论；(2)当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；(3)求证：PAPBPC.图3430方法点拨探索结论成立的条件，可采用逆向思维，由果索因.详解详析1B解析 只有B选项符合圆周角为90时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆故选B.220解析 AB是O的直径，ACBADB90.AC7，BC24，AB25.AD15，BD20.370解析 四边形ABCD内接于O，BADC180.BAD110，C70.4B解析 BE为O的直径，BAE90，ABC90AEB54.四边形ABCD是平行四边形，ADCABC54.故选B.5. B解析 连接BD，ABCD，BADADC.ADCABC，ABC30，ADC30，BAD30.AB是O的直径，ADB90，ADABcos3084 .故选B.6B解析 如图，延长AO交O于点E，连接BE，则AOBBOE180.AOBCOD180，BOECOD，BECD6.AE为O的直径，ABE90，AB8.故选B.7C解析 连接CD.DOC90，CD是A的直径在RtOCD中，CD6，OC2，则OD4，tanCDO.由圆周角定理，得OBCCDO，tanOBCtanCDO.故选C.8D解析 AB为O的直径，AEBC.ABAC，BEEC，BAECAE，BC，BEED，EDEC，EDCC，EDCB.故选D.9解：(1)证明：BD平分CBA，CBDDBA.DAC与CBD都是所对的圆周角，DACCBD，DACDBA.(2)证明：AB为O的直径，ADB90.又DEAB于点E，DEB90，ADEEDBDBAEDB90，ADEDBACBDDAP，PDPA.DFADACADEPDF90，且ADEDAC，PDFDFA，PDPF，PAPF，即P是线段AF的中点(3)DAFDBA，ADBFDA90，FDAADB，.在RtABD中，tanABD，即tanABF.10B解析 因为四边形ABCD内接于O，所以ADC180ABC18010575.因为，所以DCEBAC25.因为ADCDCEE，所以EADCDCE752550.故选B.114 解析 连接OD，OB，过点O作OFBD，垂足为F.OFBD，DFBF，DOFBOF.四边形ABCD内接于O，AC180.C2A，A60，BOD120，BOF60.OB4，BFOBsinBOF4sin602 ，BD2BF4 .12解：(1)证明：如图，ABCADC180，2ADC180，ABC2.又213，43，ABC4，ABAC.(2)34ABE，DABBAE，ABDAEB，.ABAC3 cm，AD2 cm，AE cm，DE2(cm)13证明：(1)四边形ABCD是圆内接四边形，ABCD180.又ABCCBE180，DCBE.(2)DCBE，DE，CBEE，CBCE.(3)设BC的中点为N，连接MN.MBMC，MNBC，圆心O在直线MN上又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，OMAD，即MNAD，BCAD，ACBE.又CBED，DE，ADE，ADE为等边三角形14解：(1)连接OA，OB，过点O作OEAB，E为垂足，则AEBE.在RtAOE中，OA2，AE，sinAOE，AOE60，AOB2AOE120.又ADBAOB，ADB60.四边形ACBD为圆内接四边形，ACBADB180，ACB180ADB120.(2)过点D作DFAB，垂足为F，则SABD2DF.显然，当DF经过圆心O时，DF取得最大值，从而SABD取得最大值，此时DFDOOFDOOE22sin303，SABD233，即ABD的最大面积是3.15B解析 如图，ABBC，ABPPBC90.PABPBC，ABPPAB90，APB90，点P在以AB为直径的E上，当点C，P，E在一条直线上时，CP长取最小值，此时由勾股定理，得CE5，CPCEPE532.故选B.16解：(1)ABC是等边三角形证明如下：在O中，BAC与CPB是所对的圆周角，ABC与APC是所对的圆周角，BACCPB，ABCAPC.又APCCPB60，ABCBAC60，ABC为等边三角形(2)当点P是的中点时，四边形PBOA是菱形理由：如图，连接OP.AOB2ACB120，P是的中点，AOPBOP60.又OAOPOB，OAP和OBP均为等边三角形，OAAPOBPB，四边形PBOA是菱形(3)如图，在PC上截