3.6.2圆的切线的判定及内切圆

第3课时圆的切线的判定及内切圆关键问答切线的判定方法有哪些？什么是三角形的内心？它有什么性质？1.下列直线中一定是圆的切线的是()A与圆有公共点的直线 B到圆心的距离等于半径的直线C垂直于圆的半径的直线 D过圆的直径的端点的直线2若直线l是O的切线，要判定ABl，还需要添加的条件是()AAB经过圆心O BAB是直径CAB是直径，B是切点 DAB是直线，B是切点3如图3623，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC80，则BOC_.图3623命题点 1证明圆的切线热度：99%4如图3624，在ABC中，BAC90，D为BC边的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O交AC于点E，EFBC于点F，则EF_O的切线(填“是”或“不是”)图36245.2019白银如图3625，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，ABN30，求点B的坐标；(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线图3625方法点拨要证明已知直线是圆的切线，若已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于该半径；若未指明直线与圆有公共点，则可过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.62019黄石如图3626，已知A，B，C，D，E是O上的五个点，O的直径BE2 ，BCD120，A为的中点，延长BA到点P，使BAAP，连接PE.(1)求线段BD的长；(2)求证：直线PE是O的切线图3626命题点 2与三角形的内切圆有关的计算热度：92%7已知直角三角形的两条直角边长分别为12 cm和16 cm，则这个直角三角形的内切圆的半径是()A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm解题突破(1)三角形的内心与各顶点的连线将三角形分成3个小三角形，而每个小三角形的高均为其内切圆的半径，底为三角形的三边，所以SABC(ABACBC)r(r为其内切圆的半径)；(2)直角三角形内切圆半径的计算公式：r(a，b为直角边长，c为斜边长)8如图3627，圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若DEF52，则A的度数为()图3627A68 B52 C76 D3892019荆门如图3628，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是ABC的内心，将ABC绕原点O逆时针旋转90后，I的对应点I的坐标为()图3628A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)10.如图3629，ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：EDFB；2EDFAC；2AFEDEDF；AEDBFECDF180，其中等式成立的有()图3629A1个 B2个 C3个 D4个11.如图3630，O是ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，DEF45.连接BO并延长交AC于点G，AB4，AG2.(1)求A的度数；(2)求O的半径图3630方法点拨对于三角形的内切圆中的计算问题，要注意切线性质的应用，一般情况下，看到切点连半径是常用辅助线的作法.命题点 3切线的判定与性质的综合应用热度：99%12如图3631，在ABO中，OAOB，C是AB边的中点，以点O为圆心的圆过点C.(1)求证：AB与O相切；(2)若AOB120，AB4，求O的面积图363113.如图3632，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，延长AO交O于点E，连接CD，CE，若CE是O的切线，解答下列问题： (1)求证：CD是O的切线；(2)若BC3，CD4，求OABC的面积图3632方法点拨解决有关切线问题的关键是正确添加辅助线，添加辅助线的原则与方法是“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”.14如图3633，RtABC的两条直角边长分别为6和8，作RtABC的内切圆，则内切圆的半径为2；作RtABC斜边上的高，则RtABC被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图，这两个内切圆的半径的和为_；在图中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图，依此类推，若在RtABC中作出了16个这样的小直角三角形，它们的内切圆面积分别记为S1，S2，S16，则S1S2S16_图363315.联想三角形内心的概念，我们可引出如下概念定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心举例：如图3634，若PDPE，则点P为ABC的准内心应用：如图3634，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P在BF上，PDAB，PEBC，且PFBP，求证：点P是ABC的内心图3634方法点拨理解新情境下的定义，并在新问题中，把新定义或新法则转化成已经学过的基本事实、定理、定义新定义问题往往涉及分类讨论的数学思想.详解详析1B解析 A项，割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确B项，符合切线的判定，故正确C项，应为垂直于圆的半径且过半径外端点的直线，故不正确D项，应为过圆的直径的端点并与该直径垂直的直线，故不正确故选B.2C解析 根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”进行分析，则这里的AB是直径，且一端是切点故选C.3130解析 BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，OBCOCB(ABCACB)(18080)50，BOC18050130.4是解析 如图，连接OE.BAC90，D为BC边的中点，ADBCCD，CDAC.OAOE，DACAEO，CAEO，OEBC.EFBC，EFOE，EF是O的切线5解：(1)A(0，6)，N(0，2)，AN4.ABN30，ANB90，NB4 ，B(4，2)(2)证明：连接MC，NC.AN是M的直径，ACN90，NCB90.在RtNCB中，D为NB的中点，CDNBND，CNDNCD.MCMN，MCNMNC.MNCCND90，MCNNCD90，即MCCD，直线CD是M的切线6解：(1)如图，连接DE，BCDDEB180，DEB18012060.BE是O的直径，BDE90.在RtBDE中，sin60，BDBEsin602 3.(2)证明：如图，连接EA，BE是O的直径，BAE90，PAE90.A为的中点，ABAE，ABE45.在ABE和APE中，ABAP，BAEPAE，AEAE，ABEAPE，PABE45，PEB90，PEBE，直线PE是O的切线7C解析 直角三角形的两条直角边长分别为12 cm，16 cm，直角三角形的斜边长是20 cm，内切圆的半径为(121620)24(cm)故选C.8C解析 圆I是三角形ABC的内切圆，D，F为切点，IDAB，IFAC，IDAIFA90，ADIF180.DIF2DEF252104，A18010476.故选C.9A解析 过点I作IFAC于点F，IEOA于点E.A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，BC4，AC3，则AB5.I是ABC的内心，I到ABC各边的距离相等，等于其内切圆的半径，IF1，故I到BC的距离也为1，则AE1，故IE312，OE413，I(3，2)ABC绕原点O逆时针旋转90，I的对应点I的坐标为(2，3)故选A.10B11解：(1)连接OD，OF，O是ABC的内切圆，ODAB，OFAC.又DOF2DEF24590，A360ODADOFOFA36090909090.(2)设O的半径为r，由(1)知四边形ADOF是矩形，又ODOF，ODAC，ODOFADAFr，BODBGA，即，解得r，O的半径为.12解：(1)证明：连接OC.在ABO中，OAOB，C是AB边的中点，OCAB.以点O为圆心的圆过点C，AB与O相切(2)OAOB，AOB120，AB30.AB4，C是AB边的中点，ACAB2，OCACtanA22，O的面积为224.13解析 (1)连接OD，要证CD是O的切线，需证ODC90，可转化为证CEOCDO，故证ODCOEC即可；(2)OABC的面积是OCD面积的2倍，求出OCD的面积即可解：(1)证明：连接OD.ODOA，ODAOAD.四边形OABC是平行四边形，OCAB，COEOAD，CODODA，CODCOE.又ODOE，OCOC，ODCOEC(SAS)，ODCOEC.CE是O的切线，OEC90，ODC90.又OD是O的半径，CD是O的切线(2)SOCDCDOD436，而OABC的面积是OCD面积的2倍，故OABC的面积为6212.14.4解析 (1)如图，过点O作OEAC，OFBC，垂足分别为E，F，则OECOFC90.C90，四边形OECF为矩形OEOF，矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则r2.S1224.(2)如图，由SABC6810CD，得CD.由勾股定理，得AD，BD10.同理可得：O的半径，E的半径，这两个内切圆的半径的和，S1S2()2()24.(3)如图，由SCDB8MD，得MD，由勾股定理得CM，MB8，由(2)得O的半径，同理得E的半径，F的半径，S1S2S3()2()2()24.观察规律可知S1S2S3S164.15证明：ABC是等边三角形，ABC60.BF为ABC的角平分