4.5.1相似三角形性质及其应用教学设计

4.5.1 相似三角形性质及其应用 课型：新授课 备课人：教材分析：相似三角形的性质及其应用在初中几何中相似三角形的这章重点内容之一。而且这是学生学完相似三角形定义及其判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质也是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。教学目标1、 掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、 会运用上述两个性质解决简单的几何问题。3、 了解三角形重心和的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质。4、 思想方法：类比思想和转化思想重点：相似三角形性质的基本性质:对应角相等，对应边成比例的应用。难点：例2证明需要添加辅助线，是本节教学难点。学情分析： 学生已经学习过相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形；已经掌握相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；还掌握了判定相似三角形的方法：1、预备定理；2、两个角对应相等的两个三角形相似；3、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；4、三边对应成比例的两个三角形相似。相似三角形的性质应用非常广泛，学生也经历过很多用到相似三角形性质的应用，且判定方法也掌握比较熟练。教学过程：1、 复习导入A 如图，ABC ABC，AD、AD分别是对应角平分线，问AD、AD的数量关系？AABCDABCDCBCDBD学生：相等教师：你是怎样得到的？（请一位学生表述）学生1：ABC ABC，B=B，BAC=BAC,AB=AB 又AD为BAC的角平分线，BAD=BAC AD为BAC的角平分线，BAD=BAC BAD=BAD ABD ABD(ASA),AD=AD教师：我们发现什么结论呢？学生：全等三角形的对应角的角平分线相等。（说明：本节课的导入以全等三角形的角度切入，学生在八年级已经将全等三角形的定义，性质及其判定方法熟练掌握，而相似三角形为全等三角形的拓展，在知识的构架基础上思维连贯，为后面相似三角形的性质及其应用做好铺垫。）二、探索新知教师：现在老师将全等三角形的条件弱化，将全等三角形变成相似三角形，则对应角的角平分线还会相等吗？学生：不相等。教师：那么它们有什么数量关系？学生：成比例。（同时教师切入第二张PPT）ABCDABCD例1 如图，ABCABC，相似比，求则对应角平分线AD与AD的比。ABCDABDC教师：如果ABC与ABC的相似比为k, 则对应角平分线AD与AD的比为多少？又是怎样得到。请同学们思考。（思考1分钟，后请同学回答同时写解题过程板书。）学生2：ABC ABC，B=B，BAC=BAC, （复习相似三角形性质:相似三角形对应角相等，对应边成比例-概念板书）又AD为BAC的角平分线，BAD=BAC AD为BAC的角平分线，BAD=BAC BAD=BADABD ABD,（复习相似三角形判定方法1:有两个角相等的三角形相似。）教师：这位同学相似三角形的性质和判定方法掌握不错，思维清晰。（教师及时评价学生，肯定学生。）教师：通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应角的角平分线有何结论？学生：两个相似三角形的角对应角的角平分线之比等于相似比。（说明：相似三角形的性质应用非常广泛，本题为相似三角形对应角相等和对应边成比例这两个基本性质的应用有新的用意，本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应角平分线与对应边成比例。）三、合作学习，应用新知教师：如果老师将例1的对应角的角平分线改成：变式一：对应边上的高线，结论会是什么？变式二：对应边上的中线，结论又会是什么？ABCDABCD（以六人为一小组，进行合作学习，时间五分钟,在讨论过程中，个别有困难的小组予以思路点拨，后让学生进行展示。）ABCDABDC变式一： 如图，ABCABC，相似比，求则对应角平分线AD与AD的比。小组3上台展示：讲解解题思路，得出结论：教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的高线有何结论？学生：两个相似三角形的角对应边上的高线之比等于相似比。ABCDABCD（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的高线与对应边成比例。）ABCDABDC变式二： 如图，ABCABC，相似比，求则对应边上的中线AD与AD的比。小组4上台展示：讲解解题思路，得出结论：教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的中线有何结论？学生：两个相似三角形的角对应边上的高中线之比等于相似比。ABCDABCDP（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的中线与对应边成比例。）E四、应用相似，新知再探教师：在右图ABC中添加第二条中线BE,交AD于点P(得到例2的条件)，问DP与AP的比值为多少？PE与BP的比值为多少?（提问后切入例2,PPT,并给学生1分钟思考的时间，期间观察学生的表情，判断学生的思考结果，若难度较大，引导学生提点学生，例如AD和BE为ABC的中线，即可得到两个中点，你能联想到什么知识点？你会构造什么？） 一分钟后；请学生5板演，并讲解。学生5：连接DE, AD,BE为ABC的两条中线， DEAB,DE=AB. PED=ABP,EDP=BAP PEDPBA教师点评（本题的由来，承上题中的右图由原三角形中的一条中线再增加一条中线得出例2 的条件，自认为过度比较自然，而且安排本题的目的是引出三角形重心的概念一级重心的常用性质，本题又有起下的作用。且本题的难点在于需要添加辅助线，让学生思考如何添加，有根据哪些条件推出。添加的辅助线又是ABC的中位线，利用他的性质又可以推出三角形相似，本质还是先判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质而得出。）ABCDABCDPFE教师：在右图ABC中添加第三条中线CF,我们知道三角形的中线是相交于同一个点的，所以第三条中线经过点P, 则FP与CP的比值为多少？学生：教师:我们发现三角形三条中线的交点将中线分成了1:2两部分，这个交点是如此的特殊它有个名字叫做重心，那么大家能归纳出重心的定义吗？学生：三角形三条中线的交点叫做重心。（教师黑板书写三角形重心定义。） 动手实验，让学生动手实验，了解平衡鸟能保持平衡鸟的原理，进一步理解重心的意义，以及作用，教师讲解重心物理教师讲解数学上的重心与物理上的重心的概念的区别，以及何时数学和物理上重心统一。再引导学生回到三角形重心的应用。学而用之 改变条件，举一反三 AA如图，在ABC中，点E、D分别是AC、BC的中点，EGBE、CF相交于点F，EF=1,BE的长为_EDF变式一：EF=1,BE的长为_CBCB（本题为重心的应用，学生可以根据中点中线判 定出点F为ABC的重心，根据比值可以求出BE的长。）AABCDEFGDGE变式二：EGBC，交AD于点G，求AG与GF的比.F（本题在第一小题的基础上添加EGBC，难度增大，BCA通过增加条件让学生了解题目生成过程。本题仍然为重心的应用，根据重心的性质可以判断出FG与AF比值1:2，EF与BF的比值为1:2，再根据EGBC，判断出BAFFGE,得出FG与AF的比值为1:2，所以得出AG与FG的比值为3:1.本题是相似三角形与重心性质的应用，比较综合，在学生讲解时可以进行适当的提醒以及帮助.）EFABDC变式三： 若BAC=90,AB=AC= ,求重心到斜边的距离。（本题在第一小题的基础上添加AB=AC，BAC=90，将ABC改变为等腰直角三角形，求重心到斜边的距离，即求点F到BC边的距离即求DF的长，本题不仅涉及重心的性质还涉及等腰三角形的性质，应让学生进行充分思考。教师必要时给予提醒.)教师：我们发现一个图形，当我们添加一些条件或者改变一些条件时会得到一些完全不一样的结论。五、知识回顾，课堂小结教师：今天我们在研究相似三角形的应用及其性质，发现有些结论有些相似，不妨我们一起来比较一下. 全等三角形 相似三角形图形对应角相等相等对应边相等成比例对应角的角平分线相等比值等于相似比对应边上的高相等比值等于相似比对应边上的中线相等比值等于相似比.小结：全等三角形的周长相等，面积相等，那么相似三角形的周长，面积又有什么关系呢？这是我们下节课要一起来探究的。（启发学生再利用相似三角形的性质再继续探究。）教师：再让我们来回顾相三角形的性质是？学生：相似三角形对应角相等，相似三角形对应边教师：我们还学习重心，那么它的概念是什么？学生：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。教师：重心的性质又是什么？学生：三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。教师：大家今天的表现非常积极，让黄老师刮目相看，希望大家在今后的学习和生活中找到自己的重心，把握好自己的人生方向，明天会更更美好。六、作业布置：完成本课的分层作业。分层作业详列：BA组1如果两个相似三角形的相似比是12，那么它们的对应中线比是 ( )A12B14 C13 D212已知两个相似三角形的相似比是12，则下列判断中，错误的是( )A对应边的比是12 B对应角的比是12 C对应中线的比是123三角形的重心是三角形的 ( )A三条中线的交点 B三条角平分线的交点C三边垂直平分线的交点 D三条高所在直线的交点B组4、已知，ABC中，C90，G是三角形的重心，AB8，求：(1)线段GC的长；(2)过点G的直线MNAB，交AC于M，BC于N，求MN的长ACBDPNQMC组5、已知三角形ABC的边BC=8，高AD=16，矩形PQMN的四个顶点在三角形的边上，设QM为x，矩形PQMN的面积为S，求：（1）S关于的函数关系式及自变量的取值范围（2）当自变量取何值时，矩形面积最大？最大为多少?7、 板书设计多媒体课题相似三角形判定方法相似三角形性质例