自动控制原理第5章.ppt

第五章 频域分析法频率法,5.1 频率特性,一、基本概念,系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。,稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。,稳态输出的相位与输入相位之差,称为相频特性。,一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入,其稳态输出可写为,Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角,二、求取频率特性的数学方法,RC网络的传递函数为,如果输入正弦电压信号,其拉氏变换,所以系统的输出为,查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t),式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。,幅频特性和相频特性,幅频和相频特性曲线,只要把传递函数式中的s以j置换，就可以得到频率特性，即,RC网络的频率特性,将(j)以模幅式表示，则,故幅频特性,相频特性,频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图,动态数学模型,三、频率特性图示法,1.直角坐标图,幅频特性：纵坐标为M，线性分度；横坐标为，线性分度。,相频特性：纵坐标为，线性分度；横坐标为，线性分度。,2.极坐标图,频率特性,幅相特性：以频率作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复平面上。,当频率从零到无穷变化时，矢量(j)的端点在复平面上描绘出一条曲线，即为幅相特性曲线，又称奈奎斯特曲线。,O,j,1,惯性环节的幅相特性曲线,3.对数坐标图伯德图(H.W.Bode),对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。,对数频率特性曲线的横坐标表示频率，并按对数分度，单位是1/s。,对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。,对数幅频特性定义为,对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。,采用对数坐标图的优点是：,(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。,对数幅频和对数相频特性曲线,5.2 典型环节的频率特性,一、比例环节(放大环节),传递函数： G(s)=K,频率特性: G(j)=K,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,伯德图,幅相曲线,二、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,幅相曲线,伯德图,三、微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线,伯德图,四、惯性环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线,近似对数幅频特性：,当 时， ，略去 则得,扩展为只要 ，则L()=0。,显然在转折频率 处，近似精度最低。其最大误差为,特征点：,五、一阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,特征点：,幅相曲线,六、振荡环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,特征点：,对数相频特性：,幅相曲线,根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性,1,O,j,渐近对数幅频特性：,当n时，即/n1时，则略去/n，近似取,在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。,当n时，即/n1时，则略去1和 近似取,这是一条在 处过横轴且斜率为 -40dB/十倍频程的直线。,为转折频率,没有考虑阻尼比的影响。,在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为,对于不同的阻尼比，振荡环节的精确对数幅频特性,对数相频特性：,七、二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线:,二阶微分环节的伯德图,八、一阶不稳定环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相特性:,一阶不稳定环节的伯德图,九、延迟环节,数学表达式：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,幅相特性曲线,伯德图,伯德图,5.3 控制系统的开环频率特性,系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。,一、开环幅相特性曲线的绘制,设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联,其开环频率特性,所以，系统的开环幅频和相频分别为,1.开环幅相特性曲线的绘制,例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为 ，试绘制系 统的开环幅相曲线。,解：,当=0 时 G(j0)=K0,当= 时 G(j)=0-180,0型系统幅相特性曲线,系统的开环幅相曲线,例 某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为 ，试绘制系统 的开环幅相特性曲线。,解：,当=0 时 G(j0)= -90,当= 时 G(j)=0-270,开环幅相特性曲线,各型系统幅相特性曲线的概略图,例 某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为 ，试绘 制系统的开环幅相特性曲线。,解：,当=0 时 G(j0)= K0,当= 时 G(j)=0(90-270)=0-180,取T1、T2大于1，1T3时，系统的开环幅相特性曲线为,系统的开环幅相曲线,2.系统开环幅相特性的特点,当频率=0时，其开环幅相特性完全取决于比例环节K和积分环节个数。,0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型以上系统起点幅值为无穷大,相角为-90。,当频率= 时，若nm(即传递函数中分母阶次大于分子阶次)，各型系统幅相曲线的幅值等于0，相角为-(n-m)90。, G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。,(a) 令G(j)=-。解出与负实轴交点处对应的频率x的值。再将x代入|G(j)|中，求得与负实轴交点的模值。,(b) 令()=0解出x ，再将x代入u(x)中，求得与负实轴交点的坐标。,二、伯德图的绘制,系统的开环幅频和相频,系统的开环对数幅频和对数相频特性,开环对数幅频,开环对数相频,系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；系统开环对数相频等于各环节对数相频之和 。,解决这方面的问题要求掌握：,(1) 正问题能熟练地绘制系统的伯德图。即已知系统的开环传递函数，在半对数坐标纸上绘制出系统开环对数频率特性。,(2) 反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线（或实验曲线），能反求其传递函数。,解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤：,1.确定出系统开环增益K，并计算 。,2.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。,3.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20 dB/十倍频程。当=0, =1, =2时，斜率分别是(0，-20，-40)/十倍频程。,4.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。,5.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/十倍频程。,6.若系统中有振荡环节，当0.4时，需对L()进行修正。,绘制对数相频特性的步骤：,1.在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的相频特性曲线。,例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。,解：,作L():,(1),因此，,开环增益 K=10,转折频率,/s-1,L()/dB,0.1,10,1,100,20,40,-20,-40,0,-20 dB/dec,4,A,B,-40 dB/dec,作对数相频曲线：,因为该系统是由放大、积分、惯性环节组成的，则,因此，只要从-90起作一惯性环节的相频，即可得到系统的对数相频特性曲线。,对数相频特性曲线,解：,作L():,(1),A,-20 dB/dec,0.2,B,-40 dB/dec,C,-20 dB/dec,D,-60 dB/dec,1,2,3,作():,由系统中各环节对数相频特性叠加而得到系统的开环对数相频特性曲线，即,系统开环对数相频特性曲线,系统开环对数幅频特性曲线与横轴(0 dB线)交点的频率称为穿越频率或截止频率c。,系统开环对数相频特性曲线与线交点的频率称为相频截止频率g。,两个概念：,三、最小相角系统和非最小相角系统,传递函数中没有右极点、右零点的系统，称为最小相角系统（最小相位系统）；传递函数中有右极点、右零点的系统，则称为非最小相角系统（非最小相位系统）。,5.4 稳定判据及稳定裕度,频率稳定判据有以下特点：,1.应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。开环频率特性曲线可以按上面5.2、5.3节介绍的方法绘制，也可以全部（或部分）用实验方法绘制。当系统的开环传递函数表达式不知道时，就无法用劳思判据判断稳定性，这时，应用频率稳定判据就很方便。,奈氏判据,对数频率稳定判据,2.便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。,3.可以用来分析某些非线性系统的稳定性。,一、奈氏(Nyquist)稳定判据,1.辐角原理,映射,s平面,F平面,辐角原理：若s包围了F(s)的Z个零点和P个极点，当s顺时针沿s取值时， F绕F平面的原点的逆时针转过的圈数N为 N=P - Z,2奈氏稳定判据,(1) 取F(s)：,假设,开环传递函数,闭环传递函数,辅助函数,F(s)的零点：闭环传递函数的极点 F(s)的极点：开环传递函数的极点,辅助函数F(s)与系统的开环传递函数只相差常数1。,(2) 选择s：,s包围了F(s)在s右半平面的所有零极点。,根据辐角原理:,(3) F(s)平面变换到G(s)H(s)平面：,F(s)平面,G(s)H(s)平面,G(s)H(s)=F(s)-1,F绕F平面的原点N圈等价于绕G(s)H(s)平面的(-1，j0)点N圈。,若s包围了F(s)的P个极点，即有P个开环极点在右半s平面，F绕G(s)H(s)平面的(-1，j0)点N圈，则系统有Z=P-N个闭环极点在右半s平面。,结论：,(4) G(s)H(s)平面变换到G(j)H(j)平面：,因为系统的开环频率特性一般可以由实验得到，所以，直接在G(j)H(j)平面上分析系统稳定性更加简单。, s的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映射为G(s)H(s)平面上的原点或实轴上的一点，而这一点与频率特性G(j)H(j)在的映射重合。,考察s在G(s)H(s)平面上的映射：,s平面上的虚轴(s=j)映射到G(s)H(s)平面上就是G(j)H(j) 开环频率特性；,因此，s在G(s)H(s)平面上的映射就是G(j)H(j)。,奈氏稳定判据：设系统有P个开环极点在右半s平面，当从-到+变化时，若奈氏曲线绕G(j)H(j)平面(-1,j0)点N圈(参考方向为逆时针)，则系统有Z=P-N个闭环极点在右半s平面。当Z=0时，奈氏曲线逆时针绕G(j)H(j)平面(-1,j0)点P圈，系统稳定；当奈时曲线穿过(-1,j0)点时，系统临界稳定。,二、奈氏稳定判据的实际方法,用奈氏稳定判据判断反馈系统的稳定性时，一般要绘制系统从0到时的开环幅相曲线，然后按曲线包围临界点(-1,j0)圈数N(逆时针方向N为正，顺时针方向N为负)和开环传递函数在右半s平面上的极点数P，根据公式Z=P-2N确定闭环特征方程的正实部根的个数。如果Z=0，闭环系统稳定。否则，闭环系统不稳定。Z为系统闭环特征方程的正实部根的个数。,如果系统开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节，且假定积分环节个数为，则绘制开环幅相曲线后，应从与频率=0+对应的点开始，逆时针方向补画/4个半径为无穷大的圆。,例 一单位负反馈系统开环传递函数为 试用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。,解：,幅相曲线顺时针包围 (-1,j0)点一圈，即N=-1。,画出系统的开环幅相曲线,开环传递函数右半平面极点数为0，即P=0。,Z=P-2N=2,三、对数频率稳定判据,对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数为Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180线的正负穿越之差N=N+-N-决定 Z=P-2N Z=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。,例 系统开环传递函数为,试判定闭环系统的稳定性(利用对数判据)。,解：,(1) 首先判定开环本身的P值： 由G(s)看出开环P=0。,(2) 绘制出G(s)所对应的L()和():,从图中看出N=0，则 Z=P-2N=0。 所以闭环系统稳定。,四、控制系统稳定裕度,1相位裕量:,定义为180+开环幅相曲线幅值为1时的相角。,相位裕度的物理含义：如果系统对频率信号c相位再滞后值，系统就处于临界稳定状态。 值越大，其系统的稳定程度越高，工程上一般要求40(4060)。,2幅值裕量h：,开环幅相曲线与负实轴交点处的模值|G(jg)H(jg)|的倒数。,幅值裕量h的物理含义：如果系统的开环放大系数增大到原来的h倍，则闭环系统就进入临界稳定状态。,幅值裕量h常用分贝值来表示：,Lh值越大，其闭环系统稳定程度越高，一般要求Lh6 dB(610 dB)。,由伯德图求, Lh:,5.5 闭环频率特性,一、尼柯尔斯图(Nichols),对于单位反馈控制系统，闭环传递函数为,则频率特性,M()为闭环幅频 ()为闭环相频,上式经过变换可得到如下关系式,和,令()为常数，就能得到以()为参变量的开环对数幅频和相频特性间的关系曲线。,令M()为常数，就能得到以M()为参变量的开环对数幅频和相频特性间的关系曲线。,由这两个公式可做出尼柯尔斯图:,如果A()1时，则有,这意味着，当开环对数幅频20lgA()30 dB时，对应的闭环对数频率特性为： 20lgM()=0 dB 和 ()=0,如果A()1时，则有,这说明，当开环对数幅频20lgA()-25 dB时，闭环幅频和相频特性可近似用开环幅频和相频代替。,所以，一般查图的取值范围为 -25 dB20lgA()30 dB,例 单位负反馈系统的开环传递函数为 试应用尼柯尔斯图，画出闭环幅频特性曲线。,解：,首先做出系统的开环伯德图,根据伯德图查出不同对应的20lgA()和()值。,在尼柯尔斯图中，查出对应的20lgM()和()值，从而做出系统的闭环幅频特性图。,系统的闭环幅频特性图,二、非单位反馈系统的闭环频率特性,尼柯尔斯图是根据单位反馈系统做出来的。对于非单位反馈系统，经过适当变换后，仍可应用各种图线求闭环频率特性曲线。,三、闭环频域性能指标,闭环频率特性曲线的几个特征值： 峰值Mr,频带b,相频带p和零频幅比M(0)。,1峰值Mr是指幅频特性M()的最大值。Mr大，表明闭环系统对某个频率的正弦输入信号反应强烈，有共振倾向。这意味着系统的平稳性差，阶跃响应将有大的超调量。一般要求Mr1.5M(0)。对于二阶系统，当0.707时，系统具有峰值，有其明确的数学表达式 ，且是的单值衰减函数。,2峰值频率r是指幅频特性最大值Mr所对应的频率值。 r大，表明系统的快速性好。对于二阶系统， 。,3闭环系统的带宽b定义为幅频特性下降到0.707M(0)时所对应的频率。 一般情况下，系统的阶跃响应速度与b成正比，调节时间与b成反比，因此，在保证系统的合理时域指标的前提下，总是希望系统有较大的带宽。,对于一阶系统，若传递函数为,系统带宽频率,系统调节时间,对于二阶系统，若传递函数为,系统幅频特性,根据带宽频率定义，可以得到,当=0.707时，,根据调节时间,因此，,4相频宽p指相频特性G(j)等于-/2时所对应的频率。 p较高，说明输入信号频率较高、变化较快时，输出才能落后/2。这意味着系统反应迅速，快速性好。,5M(0)指零频率(=0)时的振幅比，具有一定幅值Ar的零频输入信号，即直流信号或常值信号，如M(0)=1，则表示系统阶跃响应的终值等于输入，静差为零。而M(0)1 ，表明系统有静差。所以M(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，M(0)越阶近于1，系统的稳态精度越高。,频带b大，峰值Mr小， M(0)1 ，则系统的品质好，这是由频率特性分析系统性能品质的重要准则。,四、时域性能指标的估算,利用一些统计公式和图线，可以由闭环幅频M() 曲线直接估算出阶跃响应的性能指标%和ts。,时域性能指标的估算公式为,或,5.6 系统开环频率特性三频段的概念,对于单位负反馈系统来说，其闭环传递函数表达式为,由该表达式可以看出,系统的结构和参数惟一地取决于