工程力学》教学课件第十三章弯曲变形与静不定梁.ppt

第一节 弯曲变形的基本概念 第二节 梁的挠曲线近似微分方程 第三节 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件 第四节 静不定梁,第十三章 弯曲变形与静不定梁,本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识，主要包括挠曲线及梁的刚度条件。学习时要掌握梁的弯曲变形的基本概念，了解挠曲线近似微分方程的推导过程，掌握积分法和叠加法计算梁的变形，同时了解提高梁刚度的方法。了解变形比较法求静不定梁的计算过程。,教学目的和要求,梁弯曲变形的基本概念； 挠曲线的近似微分方程； 积分法和叠加法计算梁的变形； 梁的刚度条件。,教学重点,挠曲线近似微分方程的推导过程； 积分法和叠加法计算梁的变形； 变形比较法求解静不定梁。,教学难点,第一节 弯曲变形的基本概念,齿轮传动轴的弯曲变形,轧钢机（或压延机）的弯曲变形,1.挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线 。,挠曲线方程为,式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。,挠曲线,转角（） ：横截面对其初始位置的所转过的角度 , 称为该截面的转角。,挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向 的线位移，称为该截面的挠度。,它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。,2.挠度和转角,挠度与转角的关系（小变形的条件下）为,挠度和转角符号的规定为,挠度：向上为正，向下为负。,转角：自 x 转至 切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。,一、挠曲线近似微分方程,上式就是挠曲线近似微分方程。,小变形,x,M0,x,M0,第二节 梁的挠曲线近似微分方程,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,二、用积分法求梁的弯曲变形,微分方程的积分,式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。,边界条件和连续性条件,边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。,例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；,悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。,连续性条件:,挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。,若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。,A,B,A,B,（1）边界条件为,（2）连续性条件为,（图a）,（图b）,对上述梁：,例13-1 悬臂梁受集中载荷P作用，其抗弯刚度为EI，试用积分法求转角方程和挠曲线方程，并确定最大转角和最大挠度。,解 （1）建立坐标系并写出弯矩方程。,（2）写出挠曲线近似微分方程并积分。,（3）确定积分常数 。,P,L,x,当,时，,，,求得,（4）写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形状。,（5）最大转角及最大挠度（绝对值最大）。,x,（ ）,（ ）,例13-2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 max 。,解: 由对称性可知，梁的两个支反力为,梁的 弯矩方程 及 挠曲线微分方程 分别为,(c),(d),边界条件为,将边界条件代入 (c) , (d) 两式得,梁的转角方程和挠度方程分别为,在 x = 0 和 x = l 处转角的 绝对值相等且都是 最大值，为,在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值,A,B,q,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。,挠曲线近似微分方程,优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；,缺点：计算较繁。,积分法：,第三节 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件,（1）小变形，轴向位移可忽略； （2）线弹性范围工作。 （3）梁的挠度和转角与载荷成线性关系。,多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单 独作用于结构而引起的变形的代数和。,一、用叠加法求梁的弯曲变形,O,B,P,A,例13-3 用叠加法求如图所示梁的截面A的挠度和截面B的转角。EI=常量。,解 （1）P单独作用时，梁的左半段OA的变形如同悬臂梁在末端受集中力作用时的变形；右半段AB部分梁没有变形位移，但其有刚体位移。刚体位移可以看作是随A截面的平动与绕A截面的转动。所以B截面的转角等于A截面的转角。,(2）MB单独作用时，A、B两截面变形位移可以直接从表中查出。,（3）P和MB共同作用时，应用叠加法可得知，A截面挠度为两种载荷的代数和，B截面的转角也为两者的代数和。,例13-4 用叠加法求图示梁的,，EI=常量。,=,+,A,B,+,A,M,解 运用叠加法,二、梁的刚度条件,常见梁结构的许用挠度和许用转角如下：,普通传动轴,齿轮轴,吊车梁,楼盖梁,例13-5 如图所示工字钢梁，l=8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， y = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解 由刚度条件可得,解得,所以得,由梁的最大弯曲应力为,O,B,P,A,因此，满足强度条件。,三、提高梁弯曲刚度的措施,梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关，而且还与梁的材料、截面形状与大小和梁的长度有关。,提高梁刚度的措施为,1.增大梁的抗弯刚度EI； 2.减小梁的跨度； 3.改变加载方式。,静不定梁：梁的未知反力的数目将多于静力学平衡方程的数目，仅由平衡方程不能求出全部的约束反力和内力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。,静不定次数：未知约束反力数目与静平稳方程条件数目之差称为静不定次数。,相当系统：静不定梁的多余约束解除后，所得到的受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原梁的相当系统。,第四节 静不定梁,一、静不定梁的基本概念,A,B,x,B,相当系统,二、用变形比较法求解静不定梁,变形协调条件为,补充方程为,约束反力为,用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：,（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、强度、刚度的计算与静定梁完全相同。,例13-6 如图所示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度。,L,A,C,D,F,B,解 (1)选择基本静定梁。解除BD杆约束，以反力FB代替。,（2）列出变形协调条件。,（3）在基本静定梁上由叠加法求挠度。,本章小结,1.在小变形条件下，建立了梁的挠曲线近似微分方程，用积分法求梁的挠曲线方程和转角方程。对于积分常数需要应用边界条件和连续条件。 2.在小变形条件和线弹性范围内，用叠加法求解梁的弯曲变形位移。当梁受到复杂载荷作用时，可先计算其在各基本载荷作用下的变形位移，然后进行叠加求和，可得到梁的总体变形位移。也可以用逐段刚化法求解。,本章小结