义务教育阶段数学基本思想理解与把握.ppt

义务教育阶段数学基本思想 理解与把握,东北师范大学 史宁中 2015. 4,报告目录,一、数学的基本思想 二、义务教育数学中的抽象 三、义务教育数学中的推理 四、义务教育数学中的模型,一、数学的基本思想,1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变） 过去的教育理念：以知识为本 教学大纲 关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练） 教学形式是： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）,现代教育理念：以人为本 工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大） 以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。 人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法 数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能，还要培养学生的数学素养。 一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解数学内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。 终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析现实世界，会用数学的语言表达现实世界。 如何实现？,义务教育数学课程总目标 四基：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 四能：发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题 科学：敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟 基本活动经验：思维的经验，实践的经验（过程性目标的目标） 会思考问题、会做事情能力的培养，依赖的不是说教和理解，依赖的是学生参与其中的活动，依赖的是学生在这个过程中自己的思考和感悟，这种能力是经验的积累。,2. 数学基本核心素养（核心词、核心概念） 如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。 教学内容 核心素养 数学思想：质量监测四个原则 义务教育阶段（8个）核心词、核心概念 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、 运算能力、推理能力、模型思想 高中教育阶段（6个） 数学抽象、逻辑推理、数学建模、 运算能力、直观想象、数据分析,3. 什么是数学的基本思想 图形结合、递归、换元、等量替换？ 确定数学的基本思想的原则： 数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型 义务教育阶段数学教学的责任： 感悟抽象、懂得推理,通过抽象：现实 数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征： 一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）,数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解 是创设情境让学生感悟 教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握） 如何感悟？（情境创设、教师引导） 参见著作：基本概念与运算法则 - 小学数学教学中的核心问题， 高教社，2013年 通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。 建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解） 数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？ 数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。,二、义务教育数学中的抽象,开始用对应的方法： 三个苹果、三只鸡 3 （去掉物理属性） 对应方法 负数与自然数：数量相等、意义相反。 以后用内涵的方法： 自然数是一个一个多起来的（算数公理体系、后继数） 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1， 如何认识 10000 ? 10个1000？10个千？ 比 9999 多 1（读法可以不同，表达必须一致）,数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性 读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002：符号 0 很重要 1 10 1 9 + 0、10 数位与数不同 数位：从左到右、从小到大 个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 需要知道十进制、不需要知道计数单位 数：10 = 9 + 1，10000 = 9999 + 1 0 对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合 整数集合 1 对于乘法很重要：倒数； 除法：整数集合 有理数集合,数的运算 与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。 内涵： 3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 3 + 1 = 4 对应： 哪边多 哪边多？ 3 + 1 = 4 理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。 方程的定义？方程与函数的关系？,如何定义乘法？为什么负负得正？ 乘法是加法的简便运算：2 + 2 + 2 = 2 3 = 6 (-2) 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 2 (-3) = -6 ？ 在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。 在整数集合上？ 乘法的本质。两个性质：0 a = 0；1 a = a 两个法则：a b = b a; (a + b) c = a c + b c 连同性质和法则，把乘法由自然数集合扩张到整数集合。 1 1 = 1， (-1) 1 = -1 1 (-1) = -1, (-1) (-1) = 1,点、线、面的抽象 0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。 日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。,角的抽象 角是由有公共端点的两条射线所组成的图形。 称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角） 几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。,抽象小结 抽象出数学研究对象、以及研究对象的关系和运算法则： 把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部。 概念：自然数、负数；点、线、面、体、角 关系：数的大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面 运算：加法 、减法、乘法、除法；距离、面积、体积 小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系 抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 抽象的东西是理念的存在 郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,三、义务教育数学中的推理,推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理 数学的结论都是命题 数学命题：可供正确或者错误判断的陈述 可以判断。下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的 仅供判断。下面两个陈述都是数学命题 三角形内角和180度 三角形内角和120度 直接推理：对命题直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程,数学命题主要有两种形式 性质命题：A 是 B。充分条件： A B 必要条件： B A 充分不必要：两个偶数的和是偶数。 必要不充分：数可以比较大小。 充分且必要：直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边 长平方之和的三角形。 数学定义必须充分必要：称含有未知数的等式为方程。？ 什么是数学的推理？什么是有逻辑的推理？ 苹果是酸的，酸的是一种味道，所以苹果是一种味道。？ 三角形内角和是180度，180度是平角，所以三角形是平角。？,逻辑推理：具有传递性的推理。 在数学上有两种形式 演绎推理：从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 结果是必然成立的，用于验证知识。是数学教学中推理的重点。 归纳类比：从小范围内成立的命题推断更大范围类似命题成立。 苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图 有死，所以凡人都有死。 结果是或然成立的，用于发现知识。是数学教学中推理的弱点。 苏格拉底不到80岁死去，柏拉图不到80岁死去，所以 凡人不到80岁死去。,演绎推理,演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提 同一律：a = a，（a 属于 A 或者 a不属于 A ）。 矛盾律： a P 和 a Pc 不能同时成立。 排中律： a P 和 a Pc 必有一个成立。 命题 素数有无数多个。（反证法） 证明 假设素数有限个（归谬假设）。 比如只有n个素数，表示为：p1,pn。 令 p = p1 .pn + 1。 因为p不能被 p1,pn中任何一个素数整除，所以 p 是与 上述n个素数不同的素数，与只有n个素数不符（矛盾律）。 假设错误。因此，有无数多个素数（排中律）。,“数与代数”演绎推理的前提（基本事实） 命题1 等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a b），b = c (b c） a = c (a c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。 a = b (a b） a + c = b + c (a + c b + c） a - c = b - c (a - c b - c）,演绎推理,有理数加法的定义？ 加上一个正数比原来的数大。 符号表示：对于任意的数 a 和正数 b，有 a + b a。 因为 b 为正数，所以 b 0 在上面不等式两边分别加上 a，由命题 2 得到 a + b a 结论成立。 类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。,演绎推理,减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小 用数学符号表示这个命题：b 0，则 a - b = a + (-b) 证明：因为“减法是加法逆运算”： a - b = x a = b + x 由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1： a - b = x = a + (-b),演绎推理,减去一个负数等于加上这个负数的相反数 减去一个负数等于加上一个正数 减去一个负数比原来的数大 用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b 证明：令 x = a + b。等式两边加 b 的相反数（-b），由命题2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2： x + (-b) (-b) = a (-b) 因为同数相减为 0：x = a (-b)。由命题1： a - (-b) = a + b,图形的运动（变换）：参照物 平移：参照物是一条射线 旋转：参照物是一条射线 轴对称：参照物是一条直线 不变量是本质：两点间距离,演绎推理,演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。 论证问题的形式是： 已知 A 求证 B 其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识。 发现知识需要下面两种推理： 从条件预测结果的推理， 从结果探究成因的推理 需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题,归纳推理,归纳推理需要的前提：经验或者想象 经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 3 + (-2) = (-2) + 3 a + b = b + a 结论的正确与否需要演绎推理的证明,归纳推理,探究成因 混合运算：先括号、先乘除后加减。为什么？ (3 + 2) 6 = 5 6 = 30 3 + 2 6 = 3 + 12 = 18 举例说明 上： 一队同学，每排3名女生2名男生，共6排，问有多少同学。 下：操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排，问现 在操场上有多少同学。 现在同学数 = 原来同学数 + 后来同学数 = 3 + 2 6 混合运算讲两个以上的故事。 除分数等于乘这个分数的倒数,如何得到和差化积的公式：a2b2 = (a-b)(a+b)？ 用归纳的方法 问题化简：b = 1，a2b2 = a2 1 逐步尝试： a = 2， 4 1 = 3 a = 3, 9 1 = 8 a = 4, 16 1 = 15 a = 5, 25 - 1 = 24 a = 6, 36 1 = 35 发现具体规律：35 = 5 7 = (6-1)(6+1) 24 = 4 6 = (5-1)(5+1) 猜想一般规律：a2 1 = (a-1)(a+1) 证明一般规律： 还原一般问题：a2 - b2 = (a-b)(a+b),归纳推理,类比的方法：几何 一个点把直线分为两个部分。如何表达？两个点呢？ 一条直线把平面分两个部分。如何表达？两条直线呢？ 一个平面把空间分两个部分。如何表达？两个平面呢？ 数学推理：通过归纳推理发现、提出命题 通过演绎推理证明、得到命题 归纳推理和演绎推理都是逻辑推理，因此数学具有严谨性。,四、义务教育数学中的模型,模型：使数学回归现实世界。 模型是用数学的语言讲述的是现实世界的故事。 模型是沟通数学与现实世界的桥梁。 课标中主要要求两个模型 总量模型（加法模型）：总量 = 部分 + 部分 部分 = 总量部分 序列模型：现在 = 过去 + 变化 路程模型（乘法模型）： 路程 = 速度 时间 速度 = 路程 / 时间 工程模型、植树模型,考察学生思维能力 五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。 现在已经赛完9人，将派最后1名上场。五年一班可以在A、B 两名同学中选出。这两名同学最近成绩如下： A: 21, 35, 39, 23, 40, 25 B: 27, 29, 31, 33, 28, 32 你建议让哪位同学上场比赛？建议的理由是什么？,如果在我国的中小学数学教育中 一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面又添加了“基本思想”和“基本活动经验”，必将会出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。 就必将会出现“外国没有的我们有，外国有的我