以保证居民点的联络每条边代表两居民点的道路数字代.ppt

图与网络优化,第十二章,例12.1 要在这五个居民点之间设置通信线路网，以保证居民点的联络。每条边代表两居民点的道路，数字代表路长。问如何建立该通信网，使联网代价最小。,基本概念和名词 图：由若干个不同的点（顶点或节点）与其中某些顶点的连线所组成的图形 权：图中的每条边都有一个具体的数与之对应，这些数为权，带权的图为赋权图或网络。,边与弧：两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。 无向图：一个图G是由顶点和边构成的。 有向图：一个图G是由顶点和弧构成的。,V和E分别是图的顶点的集合和边的集合，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em,链：在无向图中，点与边的交错序列（vi1, ei1,vi2,vik-1,eik-1,vik）称为连结vi1和vik的链。(eit为连结vit和vit+1的边) 路径:（vi1,ai1,vi2,vik-1,aik-1,vik）是有向图中一条链（ait为从vit指向vit+1的弧），称之为从vi1到vik的路径。,弧的集合，A=a1,a2,am,回路：闭合的路径称为回路。 圈：闭合的链称为圈。 连通图：图G中任何两个点之间至少有一条链，称G为连通图。 树：一个无圈的连通图称为树 生成树：若G1=(V1,E1)是连通图G2=(V2,E2)的生成子图(即V1=V2，E1E2)，且G1本身是树，则称G1为G2的生成树。,邻接矩阵：bij表示图G中从顶点vi到vj的弧（无向图只考虑vi与vj间的边）的数目,则矩阵B = (bij)称为图G的邻接矩阵。,带权邻接矩阵：以wij表示网络G中从顶点vi到vj的弧的权(无向网只考虑vi与vj间的边的权),当vi到vj无弧或边时 ,wij=,则矩阵W = (wij)称为图G的带权邻接矩阵。,算法步骤如下： 1)把赋权图G中的边按权的非减次序排列。,最小生成树：在赋权图G中，求一棵生成树使其总权最小，称此为图G的最小生成树。 Kruskal算法思想及步骤：每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树。,最小生成树与Kruskal算法思想,2)按1)排列的次序检查G中的每一条边,如果这条边与已得到的边不产生圈，则取这一条边为解的一部分。 3)若已取到n-1条边,算法终止。此时以V为顶点集,以取到的n-1条边为边集的图即为最小生成树。,Matlab程序：mintreek.m,最短路径与Dijkstra算法 最短路径问题：在赋权有向图G中，求一条总权最小的vi至vj的路径的问题。 算法思想：若v1,v2,.,vi,.,vj,.,vn是图G从v1到vn的最短路径，则它的子路vi,.,vj一定是从vi到vj的最短路径。,算法步骤(双标号法)： 1)假设网络G有n个顶点,用带权的邻接矩阵W来表示,W(i,j)表示从顶点vi到vj的弧或边上的权值,不存在弧或边的权值用表示。,S为已求出的从始点vi出发的最短路径的终点集合,初始状态为空集。则从vi出发到图上其余各顶点vk可能达到的最短路径长度的初值为:D(k)=minW(i,k)|vkV-i；,2)选择vj，使得：D(j)=minD(k)|vkV-S，vj就是当前求得的一条从始点vi出发的最短路径的终点。令S = Sj；,3)修改从vi出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。若D(j)+W(j,k)D(k)，则修改D(k)为：D(k)=D(j)+W(j,k)；,4)重复操作2)、3)共n-1次，并记录各最短路径经过的所有顶点。由此得到从始点vi到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。,v6,v1,v2,v3,v4,v5,5,10,50,10,30,20,60,100,40,网络上任意两点间的最短路Floyd算法 某些问题中，要求网络上任意两点间的最短路，这类问题可以用Dijkstra算法一次改变起点的办法计算，但比较繁琐。这里介绍的Floyd方法（1962）可直接求出网络中任意两点间的最短路。 为计算方便，令网络的权矩阵为 的距离。其中,Floyd算法基本步骤： （1）输入权矩阵 。 （2）计算 其中 （3） 的最短路 长。,例12.3 求图12.4中，分别自点v1和v3到其他各点的最短有向路,Matlab程序：minroute.m,例12.2 某公司使用一种设备,此设备在一定年限内随时间推移逐渐损坏。保留此设备的时间越长,每年的维修费就越大。现假设该公司在第一年开始时必须购置一台此设备,假设使用此设备的时间为五年，设备的购买费和维修费如下表：,不同使用年限设备的维修费(单位:万元),第一年到第五年的购买价格(单位:万元),问：公司应在哪一年购买一台新设备，使维修费和新设备的购置费的总和最小。,解 考虑六个点v1、v2、v3、v4、v5、v6,其中vi表示在第i年初要购买新设备。v6是虚设点,表示在第5年底购买新设备。 从点vi引出指向点vi+1，vi+2，v6的弧,弧(vi,vj)表示第i年年初购进的新设备要使用到第j年的年初。,弧(vi,vj)上所赋的权为第i年的购置费加上从第i年初到第j年初的维修总费用。比如W(1, 4) = 20 + (5 + 7 + 12) = 44（万元），如此计算可得到所有权值，见下图。,本问题变为在赋权图中求一条从v1到v6总权最小的路径。,本题可以用0-1规划做， 但是比较复杂,例12.4 8个城市间有公路网,每条公路为下图中的边,边上的