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物质波 不确定关系,回顾所学:,1. 物质波是一种什么波?,2. 什么是实物粒子的波粒二象性?,一. 物质波 实物粒子的波粒二象性,光的干涉、衍射等现象证实了光的波动性；热辐射、光电效应和康普顿效应等现象又证实了光的粒子性。光具有波-粒二象性。,德布罗意波在光的二象性的启发下，提出了与光的二象性完全对称的设想，即实物粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假设。,德布罗意,不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P 和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为 和波长为 的波, 二者之间的关系如同光子和光波的关系一样, 满足：,德布罗意假设：,这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波 。,例：电子在电场里加速所获得的能量,电子的德布罗意波长,德布罗意公式,X射线范围,玻尔氢原子量子化条件与驻波条件是等效的。,将德布罗意关系式,代入即得,玻尔理论中的角动量量子化条件,电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。,1) 戴维孙-革末实验（1927）,德布罗意假设的实验证明,电子衍射实验,多晶 铝 箔,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象,2)、汤姆逊（1927）,3)、约恩逊（1960）,单缝衍射,双缝衍射,三缝衍射,四缝衍射,例 计算m=0.01kg，V=300m/s的子弹的德布罗意波长.,极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量， “宏观物体只表现出粒子性”,因Vc ,故有,波函数及其统计解释,物质波波函数,1926年玻恩指出物质波是一种概率波，它描述了粒子在各处出现的概率。,即波函数的物理意义：,电子数 N=7,电子数 N=100,电子数 N=3000,电子数 N=20000,电子数 N=70000,单个粒子在哪一处出现是偶然事件；,大量粒子的分布有确定的统计规律。,出现概率小,出现概率大,电子双缝干涉图样,在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。,位置与动量的不确定性关系,下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题,二. 不确定关系,电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽 ，电子在 x方向的动量不确定量:,若考虑次级衍射:,只考虑一级衍射:,一般有:,严格的理论给出的不确定性关系为：,它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。,首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系),-微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现,由于,根据不确定性关系得,解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量 。,和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。,例 设子弹的质量为0.01,枪口的直径为0.5。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。,原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。,解：,P = m V,例,按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V 106 ms-1 。,物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！,在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！,123 波函数 薛定谔方程及简单应用,你知道吗？,1. 物质波波函数的统计意义?,2. 一维定态薛定谔方程的物理意义?,对于微观粒子，牛顿方程已不适用。,一 一维自由粒子波函数,一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:,用指数形式表示：,波的强度,取复数实部,微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程,对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：,量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式,这里的和 一般都为复数。,波函数的统计意义,电子双缝衍射,波的强度-振幅的平方,dV=dx dy dz,单位体积内粒子出现的概率,玻恩（MBorn)的波函数统计解释:,出现在 dV 内概率：,概率密度：,波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波。,t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。,二. 波函数的标准化条件和归一化条件,1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性；,2、连续：概率不会在某处发生突变；,3、有限,4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1,即：,波函数归一化条件,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息,哥本哈根学派,爱因斯坦,波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一,三. 薛定谔方程 (1926年),描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。,质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定谔方程为,粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为,由上两式得,定态薛定谔方程,粒子能量,(1)求解 E （粒子能量） ( r ) （定态波函数）,(2)势能函数 V 不随时间变化。,一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动),描述外力场的势能函数,说明,四.用薛定谔方程解一维无限深势阱,若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。,为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。,一维无限深势阱：,保守力与势能之间的关系：,在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。,势阱内的一维定态薛定谔方程为：,解为：,由边界条件得：,据归一化条件，得,得波函数表达式：,(1)粒子能量不能取连续值,得,能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。,由,讨 论：,（2）粒子的最小能量不等于零,最小能量,也称为基态能或零点能。,零点能的存在与不确定度关系协调一致。,(3)粒子在势阱内出现概率密度分布,不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。,量子论观点：,经典观点：,（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布,如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。,经典理论无法解释，实验得到证实。,得到两相邻能级的能量差,例 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.010-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。,解： 根据势阱中的能量公式,当a=1cm时,可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。,当a=10-10m时,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。,可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。当 时 ， 较之 要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。,当n1 时 ,能级的相对间隔近似为,五.一维方势垒 隧道效应,一维方势阱如图,粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。,当 ，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学得到解释。,设三个区域的波函数分别为,在各区域薛定谔方程分别为,解为：,三个区域中波函数的情况如图所示：,隧道效应,在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒. 此现象称为隧道效应。,贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比：,贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。,扫描隧道显微镜(STM),原理： 利用电子的隧道效应。,金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间