人教版八年级数学上册课外辅导专题 全等三角形的认识(有答案)

全等三角形的认识全等三角形的概念和性质知识导航一、 概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边如图，若与全等，记作“”，其中顶点、分别与顶点、对应注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角二、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长相等，面积相等夯实基础【例1】 如果，则的对应边是_，的对应边是_ ，的对应角是_ ，的对应角是_两个三角形的周长_，两个三角形的面积_（填“”、“=”、“”、“=”、“”） 如图，若，则对应结论； 中 正确结论共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个如图所示，若ABE ACF，且AB=5，AE=3，则EC的长为（ ）A2 B3 C4 D2.5【解析】 ，=，=；C；A. 【例10】 如图，已知，且，求的度数.又【教师备选】如图，ABC ADE中，BAAE，BAC=30，AD=5，求BD的长【解析】由题意得：BAC=DAE=30，AB=AD，BAE=90，CAD=30，BAD=60，ABD是等边三角形故可得：BD=AD=51. 全等三角形的判定（一）【引例】已知：如图，求证：分析：要证，需证，只要证_证明：（ ） 即_ 在和中， _（ ）【解析】 分析：只要证证明：（已知） （等量加等量和相等） 即 在和中， （全等三角形的对应角相等） （同位角相等，两直线平行） 【点评】 此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有理有据，老师们一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.【例11】 已知：如图，、四点在同一直线上，AB=DE，BF=EC，AC=DFADFCBE求证：；又知D=30，DEC=15，求CFB的度数【解析】 AC=DF，即在和中，D=AD=A=30，DEC=ABF=15CFB=A+ABF=452. 全等三角形的判定（二）尺规作图：已知，画一个，使并判断和是否全等【点评】 学生版方框内需要填充.【例12】 如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC求证：ABE CBD；若CAE=30，求BCD的度数【解析】 ABC=90，D为AB延长线上一点， ABE=CBD=90 . 在ABE和CBD中, ABE CBD (SAS) AB=CB，ABC=90， CAB=45. 又 CAE=30， BAE =15. ABE CBD， BCD=BAE =15. 3. 全等三角形的判定（三）【例13】 已知，如图，点D在边BC上，点E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求证：BC=DE 【解析】1=2=3BAC=DAE 又DFC=AFEC=E 在ABC和ADE中ABC ADE (AAS)BC=DE 4. 全等三角形的判定（四）【例14】 已知：如图，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BC=DC，求证：BE=DF【解析】AC平分BADFAC=EAC又CEAB于E，CFAD于FF=CEA=90在FAC和EAC中FAC EAC (AAS)CF=CE，在RtBEC和RtDFC中RtBEC RtDFC (HL)BE=DF【探究对象】全等三角形中图形所涉及的基本构图【探究目的】从构图角度更加熟悉全等三角形的图形及常规解法，辅以全国中考题作为例题【探究一】共边型平移对称 (翻折) 【变式1】如图，己知AC=BD，要使ABCDCB，则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可) 【解析】AC=BD，BC是公共边，要使ABCDCB，需添加：AB=DC（SSS）或ACB=DBC（SAS）【变式2】如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，求证：DBC=DCB【解析】AD平分BAC，BAD=CAD 又AB=AC，AD=AD，BADCAD（SAS） BD=CD DBC=DCB【备注】等腰三角形基本知识请老师酌情补充【变式3】如图，点E，F在BC上，BE=CF，A=D，B=C，求证：AB=DC【解析】点E，F在BC上，BE=CF，BE+EF=CFR+EF，即BF=CE在ABF和DCE中，A=D，B=C，BF=CE，ABF DCE（AAS） AB=DC【探究二】共角型【变式4】如图：点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使ABE ACD，需添加一个条件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）【解析】A=A，AE=AD添加：ADC=AEB（ASA），B=C（AAS），AB=AC（SAS），BDO=CEO（ASA）可得ABE ACD 故填：ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEO【变式5】如图所示，AB=DB，ABD=CBE，要使ABC DBE，请你添加一个适当的条件 (只需添加一个即可) 【解析】ABD=CBE，ABD+ABE=CBE+ABE即ABC=DBE 又AB=DB添加：BDE=BAC （ASA），BE=BC （SAS），ACB=DEB （AAS）可得ABC DBE故填：BDE=BAC或BE=BC或ACB=DEB【探究三】平行型【变式6】如图，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF求证：ADE BFE【解析】ADBC，ADE=BFEE是AB的中点，AE=BE又AED=BEFADE BFE（AAS）【变式7】如图，点E、F在AC上，ABCD，ABCD，AECF求证：ABF DCE【解析】 ABCD， AC AECF， AEEFCFEF，即 AFCE又 ABDC， ABF DCE（SAS）【变式8】如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BCDF，C=F求证：AC=EF【解析】AD=EBADBD=EBBD，即AB=ED又BCDF，CBD=FDB ABC=EDF又C=F，ABC EDF（AAS）AC=EF【点评】此题AB=ED的证明，也可看成是共边型【探究四】垂直型【变式9】如图，在ABC中，C=90，点D是AB边上的一点，DMAB，且AC=MD，过点M作MEBC交AB于点E求证：ABC MED【解析】MDAB，MDE=C=90MEBC，B=MED又AC=MDABC MED（AAS）【变式10】如图，已知ABC中，F是高AD和BE的交点，则线段DF的长度为（ ）. A B 4 C D【解析】，AD是ABC的高在等腰RtABD中，AD=BDBDF=ADC=90，则根据“8字型”FBD=CADBDFADC（ASA）DF=CD=4，故选B【变式11】如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，CEBE，CE与AB相交于点F，ADCF于点D，且AD平分FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明【解析】ADC ADF、ADC CEB、ADF CEB（写出其中两对即可）证法一：若选择ADC ADFAD平分FAC，CAD=FADADCF，ADC=ADF=90ADC ADF（ASA）证法二：若选择ADC CEBADCE，BECE，ADC=CEB=90ACB=90，ACD+ECB=90又ACD+DAC=90，DAC=ECB又AC=CB，ADC CEB（AAS）【例15】 如图所示为我国边境线上某界河，其中A点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，请你给出解决方案并加以证明【解析】可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长 证明：在ABC和EDC中ABC EDC（ASA）AB=ED【例16】 如图所示，是的角平分线，你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上呢？在的基础上，连接交于，你能找出图中的全等三角形吗？在的基础上，当时，你能找出图中的全等三角形吗？【解析】AEDAFD；AEDAFD，BED CFD，ABDACDABDACD，ADEADF，BDECDF，AEMAFM， DEM DFMABDACD，ADEADFBDECDF， AEMAFM DEM DFM【教师备选】为什么不能判定全等尺规作图：已知线段和角，求作，使得，这样的三角形有几个？中，另：证明也可训练4. 如右图所示，与交于，于，于，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由【解析】 7对：理由略训练5. 请分别按给出的条件画（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？【解析】 只有所作的三角形不唯一训练6. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们会全等？ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：、均为锐角三角形，求证：（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点，作于，于，则 ，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法） 在和中，在和中，在和中，对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！归纳与叙述：由、可得到一个正确结论，请你写出这个结论【解析】 ；略；若、均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，则课后作业：（小测）题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习6】 判定两个三角形全等的方法是： ； ； ；全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等A两边和其中一边的对角对应相等B三个角对应相等C两角和一组对应边相等D两边及第三边上的高对应相等 下列命题错误的是（ ） A全等三角形对应边上的高相等B全等三角形对应边上的中线相等C全等三角形对应角的角平分线相等D有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【解析】 定义，；相等C；D【练习7】 如图，在中，分别是边上的点，若 ，则的度数为_题型二 全等三角形的判定 巩固练习ACEDB【练习8】 已知：如图，为上一点，点分别在两侧，求证：在和中，【练习9】 如图所示，已知，垂足分别为、，试证明【分析】 法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL”证明，得到，然后再利用“AAS”证明，即可得出法二，此题在证明了后，根据全等三角形的面积相等，即，而这两个三角形又是同底的，可以得出高等于高【解析】 法一：，在和中，（全等三角形的对应边、对应角