matlab第八章概率和数理统计.ppt

第八章 概率和数理统计,概率分布、随机变量的数字特征、参数估计、线性模型、非线性模型、假设检验、多元统计、试验设计,一、概率分布函数及其密度函数,离散型概率分布： 二项分布(bino)、负二项分布(nbin)、几何分布(geo)、超几何分布(hyge)、泊松分布(poiss)、离散均匀分布(unid) 连续型概率分布： 均匀分布(unif)、指数分布(exp)、正态分布(norm)、对数正态分布(logn)、 分布(gam)、 分布(chi2)、t-分布(t)、F分布(f)、 分布(beta)、威布尔分布(weib)、瑞利分布(rayl),函数： Y=pdf(name,X,A1,A2,A3) name为指定的密度函数或离散分布列的名称，X为自变量的取值矩阵，而A1,A2,A3是分布相应的输入参数，形式必须相同，输出的Y也和它们的形式相同。 Y=name+pdf(X,A1,A2,A3),概率密度函数表,例1 ：某单位有内线电话300部，假设任意一时刻每部电话打外线电话的概率为0.01,求在某一时刻恰有4部电话打外线的概率。在某一时刻打外线电话的最可能部数是多少？,解：设X表示某一时刻该单位打外线电话的电话部数，则X的统计规律可用二项分布来描述，XB(300,0.01)。 记A=“某一时刻恰有4部电话打外线”，则所求概率为p=p(A)=p(X=4)。 p=binopdf(4,300,0.01) p = 0.1689 计算某一时刻打外线电话的最可能部数 y=binopdf(0:300,300,0.01); pp,m=max(y) pp = 0.2252 m = 4,例2：某种重大疾病的医疗险种，每份每年需交保险费100元，若在这一年中，投保人得了这种疾病，则每份可以得到索赔额10000元，假设该地区这种疾病的患病率为0.0002，现该险种共有10000份保单，问（1）保险公司亏本的概率为多少?（2）保险公司获利不少于80万的概率是多少？,解：设X表示这一年中发生索赔的份数，则X的统计规律可用二项分布来描述，即XB(10000,0.0002)。由二项分布与泊松分布的近似计算关系有 故X近似服从参数为2的泊松分布。当索赔份数超过100份时，则保险公司发生亏本，亏本的概率为 ，当索赔份数不超过20份时，则保险公司获利就不少于80万，获利的概率为 。,p=poisspdf(0:100,2); p1=1-sum(p) p1 = 1.1102e-016,p=poisspdf(0:19,2); p2=sum(p) p2 = 1.0000 由以上计算可知，如不考虑其他的风险，保险公司几乎是只赢不亏。,例3：某厂研发了一种新产品，现要设计它的包装箱，要求每箱至少 装100个产品，且开箱验货时，每箱至少装有100个合格产品的概率不应小于0.9，假设随机装箱时每箱中的不合格产品数服从参数为3的泊松分布。问要设计的这种包装箱，每箱至少应装多少个产品才能满足要求？,解：设每箱至少装100+m个产品，X表示每箱中的不合格品数，则X服从参数为3的泊松分布 while p=0.9 q=poisspdf(0:m,3); p=sum(q); m=m+1; end m m = 6,例4：某商店新进了一批产品500件，并已经从中任取10件销售了出去，生产商才告知其中有50件是等外品，问(1)恰有1件等外品销售出去的概率；(2)最多有1件等外品销售出去的概率；(3)至少有1件等外品销售出去的概率。,解： p1=Hygepdf(1,500,50,10) p1 = 0.3913 p2=Hygepdf(0,500,50,10)+Hygepdf(1,500,50,10) p2 = 0.7365 p3=1-Hygepdf(0,500,50,10) p3 = 0.6548,例5：计算指数密度函数值,解： y=exppdf(5,1:5) y = 0.0067 0.0410 0.0630 0.0716 0.0736 y=exppdf(1:5,1:5) y = 0.3679 0.1839 0.1226 0.0920 0.0736,例6：绘出正态分布的密度函数曲线。,解： x=-5:0.1:5; y=normpdf(x,0,1); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z) gtext(N(0,1) gtext(N(0,2) title(正态分布密度曲线),例7：绘出t-分布的密度函数曲线，并与标准正态密度曲线比较。,解： x=-5:0.1:5; y=tpdf(x,30); z=normpdf(x,0,1); plot(x,y,k:,x,z,k-) xlabel(itx); ylabel(概率密度itp) legend(t分布,标准正态密度) difference=tpdf(x,30)-normpdf(x,0,1),例8：绘制卡方分布密度函数在n分别等于1、5、15的图。,解： x=0:1:30;y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,:) hold on y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,+) y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,O) Axis(0,30,0,0.2),例9：用pdf0函数计算均匀分布、正态分布、泊松分布的概率密度函数值。,解： P=pdf(Unif,0:10,1,9) P = 0 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0 P=pdf(Norm,-3:3,0,1) P = 0.0044 0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540 0.0044 P=pdf(poiss,0:5,1:6) P = 0.3679 0.2707 0.2240 0.1954 0.1755 0.1606,二、随机变量的分布函数及分位数,调用格式： Y=name+cdf(X,A1,A2,A3) Y=cdf(name,X,A1,A2,A3) Y=name+inv(P,A1,A2,A3) Y=icdf(name,P,A1,A2,A3),例10：某一急救中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救次数服从参数为t/2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。求： （1）在某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。,解：poisscdf(0,1.5) ans = 0.2231 说明此段时间没有紧急呼救的概率为0.2231. poisscdf(0,2.5) ans = 0.0821 说明此段时间收到紧急呼救的概率为（1-0.0821）=0.9179.,例11：到某服务机构办事总是要排队等待的。设等待时间T是服从指数分布的随机变量（单位：分钟）概率密度函数为,某人到此办事，若等待时间超过15分钟，他就离 去。设此人一个月要去该处10次，试求： （1）恰好有两次离去的概率； （2）最多有两次离去的概率; （3）至少有两次离去的概率； （4）离去的次数占多数的概率。,解：首先求任一次离去的概率，,设10次中离去的次数为X,则X服从二项分布B(10,p)。 p=1-expcdf(15,10) p = 0.2231 p1=binopdf(2,10,p)p1 = 0.2972 q=binopdf(0:2,10,p); p2=sum(q) p2 = 0.6073 q=binopdf(0:5,10,p);p4=1-sum(q) p4 = 0.0112,例12：公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，而乘客到达汽车站在任一时刻是等可能的。求乘客候车时间不到3分钟的概率。,解：以乘客到达汽车站时之前最后一辆公共汽车开出的时刻作为计时的起点，则乘客到达汽车站时刻X就服从0,5上的均匀分布。 所求概率为 p=unifcdf(5,0,5)-unifcdf(2,0,5) p=0.6,例13：计算自由度是50，10的F-分布的0.9的分位数，并给出概率与分位数关系的图形。,解：x=finv(0.9,50,10) x = 2.1171 p=fcdf(x,50,10) p = 0.9000 t=0:0.1:4; y=fpdf(x,50,10); z=fpdf(t,50,10); plot(t,z,x,x,0,y) text(x,0,2.1171) gtext(p=0.9) title(概率与分位数的关系),例14：由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述，为了有95%以上的把握不使商品脱销，问商店在每月底应该进该种商品多少件？,解：poissinv(0.95,25) ans = 33 由计算结果知，这家商店只要在月底进货该种商品33件，就可以有95%以上的把握保证该种商品在下月不脱销。,例15：设一支乒乓球队在一个循环赛季中共有162场比赛，任意一场比赛获胜的机会都是50%，试以90%的把握性来估计这支球队在这个赛季中获胜场次的范围。,解：设X表示这支乒乓球队在这一赛季中获胜的场次，则XB(162,0.5) binoinv(0.05,0.95,162,0.5) ans = 71 91 结果表明这支球队在这一赛季中获胜的场次在71，91之间的把握性为90%。,例16：需要掷多少次硬币才能有99%的概率得到10次正面向上的结果？,解：掷硬币的次数与10之差服从负二项分布，参数为10，0.5。 nbininv(0.99,10,0.5)+10 ans = 33 结果表明至少需要掷33次，才能有99%的概率得到10次正面向上的结果。,例17：生产线生产某种产品每个批次的数量为1000件，质检部门对每个批次的产品都要从中抽取50件产品进行检验，看其是否存在缺陷。如果每个批次中存在缺陷的产品数不超过10件，问从该批所抽的50件产品中有缺陷的产品的数量最多是多少？,解：设从该批所抽的50件产品中所含的有缺陷的产品的数量为X,则X服从超几何分布Hyge(x,1000,10,50),以99%的概率估算有 Hygeinv(0.99,1000,10,50) ans = 3 结果表明从该批所抽的50件产品中所含的有缺陷的产品最多是3件，可信度为99%。,三、随机变量的数字特征及其样本数字特征,随机变量的数字期望、方差、协方差及相关系数,期望和方差表,例18：求参数为0.12和0.34的 分布的期望和方差。,解： m,v=betastat(0.12,0.34) m = 0.2609 v = 0.1321,例19：求参数为6的泊松分布的期望和方差。,解： m,v=poisstat(6) m = 6 v = 6 由此可见泊松分布参数值与它的期望和方差是相同的。,例20：设随机变量的分布律为X ，求,解： x=-2 0 2;pk=0.4 0.3 0.3; EX=sum(x.*pk) EX = -0.2000 y=x.2;z=3*y+5; sum(z.*pk) ans = 13.4000 DX=sum(y.*pk)-(EX)2 DX = 2.7600 =10DX=2.76,例21：设随机变量(X,Y)具有联合密度函数为 求X与Y的协方差函数及相关系数，并计算概率P(X1,Y1)。,解：调用inline()函数与dblquad(f,a,b,c,d)函数可计算矩形域上的二重积分。 f=inline(x+y)/8,x,y);g1=inline(x.*(x+y)/8,x,y);g2=inline(x.*x.*(x+y)/8,x,y); f1=inline(x.*y.*(x+y)/8,x,y); Cov=db1quad(f1,0,2,0,2)-db1quad(g1,0,2,0,2)2 Cov = -0.0278 DX=db1quad(g2,0,2,0,2)-db1quad(g1,0,2,0,2)2 DX = 0.3056 q=Cov/DX q = -0.0909 P=db1quad(f,1,2,1,2) P = 0.3750,四、参数估计,说明： （1）各函数返回已给数据向量的参数最大似然估计值和(1- ) *100% 的置信区间， 的默认值为0.05，即置信度为95%。 （2）若被估计的分布参数有两个，则返回2*2 阶的置信区间阵，第一列是第一个参数的置信区间的上下限，第二列是第二个参数的置信区间的上下限。,例22：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径（单位：mm）为5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76 若钢球直径服从正态分布 ，求这种钢球平均直径 和方差 的极大似然估计值和置信度为95%的置信区间。,解： X=5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76; mu,sigma,muCI,sigmaCI=normfit(X,0.05) mu = 5.4357 sigma = 0.2160 muCI = 5.2359 5.6355 sigmaCI = 0.1392 0.4757,五、参数假设检验,在总体的分布函数完全未知或已知其形式但不知其参数的情况，根据样本的观察值，对总体的某些未知参数或未知的总体分布做出某种推断，此类问题统称为假设检验问题。 假设检验首先提出假设，然后检验所抽取的样本值是否支持这个假设。根据这组数据计算检验统计量以及显著性概率P值。如果P值很小，则就有理由怀疑所提出的假设的正确性，从而否定所提出的假设。如果P值较大，找不到足够的证据否定所提出的假设，认为所提出的这个假设是相容的。,1.单正态 总体均值 的检验,已知（