理论力学刘又文彭献答案第7章.pdf

223 第 7 章 达朗贝尔原理 7.1 概念答疑 一质点惯性力： I m= Fa 1质点惯性力是周围物体作用在运动质点上的一种真实力。对吗？ 答：不对。因为在惯性系中，质点具有加速度，处于非平衡状态。如果是真 实力，质点就平衡了。惯性力只是运动质点对于施力物体的动反作用力。在非惯 性系中，也可以理解为外部物质场作用于质点的一种场力。 二质点系惯性力 主矢： IiiC mm= = Faa 主矩： I d d O O t = L M ， I d d C C t = L M 平移刚体： I 0 C =M 定轴转动对称刚体： IOO J= M 平面运动对称刚体： ICC J= M 2质点系的惯性力向任何一点简化都得到相同的主矢和主矩。对吗？ 答：不对。和静力学中力系的简化一样。惯性力系的主矢与简化中心无关， 而主矩与简化中心有关。只有惯性力偶系的简化与简化中心无关。 3 如图7.1所示均质加速平移杆， 外力与惯性力作用如图a所示,则截面1-1 上内力等于零。截面2-2上内力等于F。对吗？ 图 7.1 （a） F （b） F I1 F I2 F 2 2 1 1 （c） N1 F N2 F F I F 2 2 1 1 a 224 答：不对。惯性力系是一分布力系，如图b所示，对1-1截面应是 N1I1 FF=， 对2-2截面是 N2I2 FFF=。 4如图7.2所示齿轮链条机构中，轮I固定，则轮II的惯性力如图所示， 2 I0 n A FOAm= ， I0A FOAm =， IAAO M= J。对吗？ 答：不全对。 IA F和 I n A F是正确的。齿轮II作平移， I 0 A M=。 5如图7.3 a、b所示，惯性力的两种加法对吗？ 图 7.2 I n A FIA F IA M A O I II 0 0 图 7.3 C O O J n C ma C ma (a) O C C J n C ma C ma (b) (c) O C C J n C ma C ma (d) O n C ma C ma C O J 225 答：不对。图a中惯性力系向质心C简化，主矩应为 C J，图b中惯性力 系向O点简化，主矩应为 O J，正确结果如图c或图d所示。 6如图7.4a所示，加于定轴转动圆盘上的惯性力系对吗？ 答：不对。漏了与转向相反的惯性力偶矩 C J。图b是正确结果。 7如图7.5a所示刚体作平面运动， v C为速度瞬心，则惯性力如图所示。对 吗？ 答：图a不对。因为一般情况下， v 0 C a，绕瞬心不同于定轴转动。只有当 vC aC C=时，上述惯性力简化才是正确的，如图b和c所示。 注意：平面运动刚体的惯性力系一般向质心C简化。 8如图7.6 a所示，当B端绳剪断瞬时，均质杆AB的惯性力如图所示。对 吗？ 图 7.4 C ma n C ma O C (a) C ma n C ma C J O C (b) 图 7.5 v C J C ma C a v C (b) C ma C a v C v C J (c) v C J C ma C a (a) v C C 226 答：不对。因杆AB作平面运动，该瞬时0，0 A a而 CACA =+ aaa惯性 力如图b所示是正确的。 9如图7.7a所示结构置于光滑水平面，当DE绳突然拉断瞬时，系统的惯 性力为作用在质心C的一个力，如图所示对吗？设两杆质量均为m。 答：不对。对于可变的刚体系统，其惯性力应分别加于各个刚体上，如图b 所示。这样，才便于求各运动量及各刚体之间的相互作用力。 10如图7.8所示，两杆质量均为m，质心在铰C，则惯性力主矢，应加在 点C，且 I1 2(0)Fml=。对吗？ 答：不对。错在 C a的计算上。惯性力主矢大小为 (a) 图 7.7 C A B 1 C 2 CC D E 2 C ma (a) A C B 1 C 2 C D E C ma B ma C a B a 1 C C ma 2 C B ma 1 C J 2 C J (b) 图 7.8 C A B 1 2 I F (b) 图 7.6 C J C ma AB C C J CA ma A maA B C A a 227 I1121212 3 ()(3) 22222 llllm Fmmllm =+=+=+ 11如图7.9 a所示圆轮在OA杆上以匀角速度 2 纯滚动，则圆轮的惯性力 如图所示。对吗？ 答：不对。因为动系OA转动时，科氏加速度 C 0a ，应加科氏惯性力 IC12 2Fmr =，如图b所示。 12如图7.10所示均质杆AB绕定轴匀速转动，惯性力大小 I1I2 =FF 2 sin 2 4 m l =分别作用在AC、BC中点上。对吗？ 答：不对。杆AC、BC上实际惯性力呈三角形分布，其合力点应在三角形重 心处，简化结果如图b虚线所示。 13如图7.11 a、b、c所示惯性力对吗？ 图 7.9 A O C 1 2 2 1 m OC C a IC F (b) O A C 1 2 2 1 m OC (a) r 图 7.10 C A B 2 F I1 F (a) C A B (b) 2 F I1 F 228 答：不对。正确答案如图d、e、f所示。 三惯性积： xy Jmxy= 14均质刚体的惯性积取决于 刚体的质量和形状，而与坐标系的 选取无关。对吗？ 答：不对。因为， xy Jmxy=， 显然与坐标的选取有关。如图7.12 所 示 矩 形 均 质 板 。0= xy J， 而 22 0 x y J， 11 0 x y J，即 13 3 2 C g R =时，AB杆在此相对平衡位置附近可实 现微幅振动，其振动圆频率为 2 02 2 43 3 1 () 54 g R = 243 C O 0 = (e) e C 0 = IC F (f) O C IC M (g) O C I n C F IC M IC F n C a C a IC F (h) e O C IO F IO F IO n F IO M (i) 7.3 习题选解 习题 7-1 （刚体上惯性力系的简化）（刚体上惯性力系的简化）试对以下四种情形(转轴垂直质量对称 面)简化惯性力： 匀质圆盘的质心C在转轴上，圆盘作等角速转动(见图a)； 偏心圆盘作等角速转动，OC=e (见图b)； 匀质圆盘的质心在转轴上，但为非等角速转动(见图c)； 偏心圆盘作非等角速转动，OC=e。已知圆盘质量均为m，对质心的回转 半径均为 C (见图d)。 (a) (b) (c) (d) 解： I 0 C F=， II 0 CO MM=,见图e； 2 IC Fme=， II 0 CO MM=，见图f； I 0 C F=， 2 IICOCC MMJm =，见图g； 2 I n C Fme=， IC Fme=， 24 I 2 I C CCC Fme MJm =+ = 见图h，或 22 I 24 I () OCC O MJme Fme =+ =+ ，见图i。 习题 7-1 图 244 习题 7-2（平面运动刚体惯心力系的简化）（平面运动刚体惯心力系的简化）图a所示为作平面运动的刚体的 质量对称平面，其角速度为，角加速度为，质量为m，对通过平面上任一点 A(非质心C)且垂直于对称平面的轴的转动惯量为 A J。若将刚体的惯性力向该点 简化，试分析图示结果的正确性。 解解： 向质心简化结果如图b所示，得惯性力系的主矢与主矩分别为 IRC Fma= ICC MJ= 此惯性力系向A点简化，则主矢不变， IRIC FF=，即主矢正确。 主矩为 IIIR () ACA MMM=+F I sin CR JFd= + A J 即主矩不对。 习题 7 7-5（求约束力）（求约束力）质量为m的汽车以加速度a作水平直线运动。汽车重 心C离地面高度为h，汽车的前后轴到通过重心垂线的距离分别为c和b，如图 a所示。求其前后轮正压力，并求汽车以多大的加速度行驶方能使前后轮的压力 相等。 a C A d IC M IR F 习题 7-2 图 (a) a bc h C (a) NB F A a IR F m g h C B NA F A F B F (b) 习题 7-5 图 (b) 245 解：取汽车为研究对象，受力分析如图b所示。汽车作平移，在质心 处虚加惯性为 IR Fma=，应用动静法，列平衡方程 IRN ( )0()0 AB MF hmgcbc F=+=F, (1) IRN ()0()0 BA MF hmgbbc F=+=F, (2) 解式(1)、式(2)得前后轮的正压力 NNAB bghacgha Fm,Fm bcbc + = + 欲使前、后轮的压力相等，汽车的加速度应为 2 bc gbahgcahag h =+=, 习题 7 7-6 （求加速度与力）（求加速度与力）图a所示悬臂梁B端装有质量为 B m，半径为R 的均质鼓轮，其上作用力偶矩为M的力偶，以提升质量为 C m的物体，ABl=， 不计梁与绳的重量，试求固定端A处的约束力。 解： 研究鼓轮B与重物C，如图b所示，设鼓轮角加速度为，其上的惯性 力系向质心B简化，得主矩 B J，物块C上的惯性力大小为 CCC m am R=。由 动静法 2 0,0 BBCC MMJm gRm R= (1) B J B m g M C m R C mg A A F A M (c) C B 习题 7-6 图 (a) B J B F B mg B M C m R C mg (b) C 246 解得 2 2() (2) C BC Mm gR mmR = + 研究整体，受力如图c所示。 0,()0 yABCC FFmmgm R=+= (2) 有 2() () (2) CC ABC BC mMm gR Fmmg mmR =+ + 2 0,()0 BAABCC MMF lMJm gRm R=+= (3) 注意到式(1)，知式(3)括号内的项为零，故有 AA MF l=。 习题 7-7（求瞬态的加速度与力）（求瞬态的加速度与力）用两根不可伸长的细绳AD和BO将质量 为3 kg的均质杆AB悬吊，如图a所示，求剪断BO绳时，杆的角加速度及AD 绳的张力。若用弹簧代替细绳，相应结果如何？ 解：研究杆AB，如图b所示，剪断BO绳瞬时，A点加速度 A a垂直AD， AB的角加速度为。设AB长为l，由基点法，得到质心C的加速度为 n CAACAC =+aaaa (1) 式中，0 n AC a=， 2 AC l a=。 受力分析，杆受重力和AD绳的约束力作用，再将AB上的惯性力向其质心C 简化，如图c所示。 由0, C M=得 2 T 1 sin0 122 F mll= 即 T 1 3sin 2 m lF= (2) 建立投影轴x(见图c)，由 0 x F = ，得 习题 7.7 图 AC a A a C a A B A a C (a) (b) (c) D O C J A m a A ma mg T F A B C x 247 T sinsin0 2 l Fmgmg+= (3) 联立式(2)、式(3)，解得 T 2 sin 1 3sin mg F = + ， 2 2 6sin (1 3sin) g l = + 以sin0.8=，1.2 ml =，3m=代入，有 2 T 10.74 rad/s , 8.05 NF= 若用弹簧代替细绳，OB弹簧断开瞬时，杆的A端有垂直于AD弹簧的加速 度 A a与平行于AD弹簧的加速度 n A a，但AD弹簧来不及伸长，则弹簧力 k F不变， 与未剪断时相同。与细绳系挂的求解过程类似，此时虽然增加了一个运动未知量 n A a，但杆的A端所受力 Tk =FF是已知的。具体计算过程留给读者练习。 注意注意： (1) B端绳剪断后，AB作平面运动，决非仅绕A点转动。 (2) 初瞬时，各处速度为0，故0, 0 nn AC A aa=，但切向加速度均不为0。 习题 7 7-15 （综合问题）（综合问题）图a所示矩形物块A质量 1 200 kgm =，置于质量 2 100 kgm =的平台车上，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量 为 3 m的物体B牵引，使之作加速运动。设物块A与车之间的摩擦力足够阻止相 互滑动，求木块不致倾侧时C的最大重量，以及此时车的加速度大小。滑轮及 软绳的质量不计。 b 2b 1 m B A 2 m 3 m (a) (b) B 3 m a 3 m g 3 F T F (c) T F 1 m g C 2 m g N1 F N2 F 1 F a a 2 F (d) T F 1 m g C 1 F F a 习题 7-15 图 248 解：取重物B为研究对象，如图b所示。惯性力 I33 Fm a=，应用动静法列 平衡方程，得 3I3T 00 y F,m gFF=+= (1) 取平台车和物块A的组合为研究对象，如图c所示。惯性为 I11 Fm a=， I22 Fm a=，列平衡方程，得 I1I2T 00 x F,FFF=+= (2) 取物块A为研究对象，物块A在重物B的拉动下即将翻倒时的受力如图d 所示，列平衡方程，得 TI11 ()010 50 250 A MFFm g= = F, (3) 由(1)、(2)、(3)式解出重物A的质量最大值及此时车的加速度分别为 2 980 N2 453 m/s C Ga=,.。 习题 7 7-19（求瞬态的加速度与力）（求瞬态的加速度与力）如图a所示，一质量为m的单摆。其支 点固定于一圆轮的中心O，圆轮则放在一粗糙的水平面上如图所示。设圆轮的质 量为m1，可以看作匀质圆盘。求在图示位置无初速地开始运动时轮心的加速度。 解：如图b所示，设圆轮角加速度为 O ，轮心O的加速度为a，有 O ar=； 杆OB的角加速度为，小球固连于杆端，视为质点，以O为基点，小球的绝对 加速度为 B a a l B a O 习题 7.19 图 B (a) (b) (c) B C O 1 m a ma ml 1 mg N F S F OO J mg 249 n BOBOB =+aaaa (1) 式中，0 n OB a=， OB al =。 以系统为对象，加惯性力，系统受力如图c所示，对圆轮的速度瞬心C列 力矩平衡方程0 C M= ，有 2 11 1 (cos )( cos)sin0 2 a m a rm rmllrma lrmgl r += (2) 再以质点为对象，对O点列力矩平衡方程0 O M= ，有 2 cossin0malmglml+= (3) 从式(2)和式(3)消去，可得 2 1 3 (sin)sincos 2 mmamg+= 即 2 1 sin2 32sin mg a mm = + 习题 7 7-21 （求非稳态问题的反力）（求非稳态问题的反力）杆AB和BC其单位长度的质量为m，铰 接如图a所示。圆盘在铅垂平面内绕O轴作匀角速转动。求在图示位置时，作 用在AB杆上A点和B点的力。 （a） B C A O A a B a BC A v 1C a 2C a AB （b） B A 2rmg Bx F By F Ay F Ax F IAB F （c） C B IBC F IBC M Bx F By F Cy F Cx F rmg （d） 习题 7-21 图 250 解：首先进行运动学分析，AB杆的速度瞬心在B点，其角速度为 22 A AB r = v BC杆的角速度为零。以A点为基点，分析B点的加速度，可知杆AB的角加速 度为零，且 2 3 2 B ar= 再以A点为基点，分析AB杆质心的加速度为 2 1 5 4 C ar= BC杆定轴转动的角加速度为 2 3 2 B BC a r =， 其质心的加速度为 2 2 3 24 CBC r ar=。 研究AB杆，加惯性力、约束力和重力如图c所示，由平衡方程得 AyBy FFrmg= 0 BxIABAx FFF+= (1) 式中， 22 1 5 2 2 IABC Frmamr=。 研究BC杆，加惯性力、约束力和重力如图d所示，由0 C M= ，得 0 BxIBC F rM= (2) 式中， 32 1 2 IBCBCBC MJmr=。由式(2)解出 22 1 2 Bx Fmr = 代入式(1)，得 22 3 Ax Fmr=。 习题 7 7-23 （动平衡问题）（动平衡问题）如图a所示，一长为l，质量为 1 m的均质杆1，与 铅直轴成角刚固在一起。当给定平衡小球质量为 2 m时，问如何选取几何尺寸a 251 和b，才能使转动时A，B处不产生动约束力。 解：当以角速度转动时，若系统的惯性力组成平衡力系，则不会在A，B 处产生动约束力。 此时，如图b所示，杆1上的惯性力为平行分布力，其合力为 22 1 IR1 0 1 ( sin )dsin 2 l m Fxxml l = 合力距D端的高度为 2 1 0 ( cos )( sin )d 2 cos 3 l IR m xxx l hl F = 小球上的惯性力为 2 I22 Fm b= I2 F与 IR F组成一对平衡力，故 2 cos 3 ahl= 又 IRI2 FF=，解出 1 2 1 sin 2 m bl m = 习题 7 7-27 （求动反力）（求动反力）图示一两个自由度的回转仪。设转子的质量为m， 均匀地分布于边缘上而可以看作一个圆环。今转子以匀角速 1 绕水平轴AB转 动；同时AB轴又以匀角速 2 绕铅垂轴CD转动。试计算轴承A与B处的动压 力。设转子的半径为r，AB长l。 (a) (b) 习题 7-23 图 IR F 2 cos 3 l 2I F D x 252 解：圆环上每一点的加速度由ar、ae与aC组成，如图b所示，由于 1 与 2 都是常数， e a指向CD转轴，并关于CD对称； r a指向AB转轴，并关于AB对 称； C a垂直于盘面，并关于CD反对称。由于圆环上每一点的惯性力也由相应 的三部份组成，而与ar、ae相对应的惯性力各自互相平衡。与aC相对应的哥氏 惯性力则组成力偶，其矩为 12 0 2(d )(2)sinsin 2 m rr 222 1212 0 2sind m rmr = 于是，得到A与B处的动压力为 2 12 AB mr FF l = 习题 7 7-34 （求运动与力）（求运动与力） 如图a所示， 轮A置小车B上， 用细绳水平拉A。 已知轮和小车的质量均为m，回转半径, 3 2 R=, 2 1 Rr=以及A与B间的摩擦系 数f，若不计B的车轮质量，求A在B上纯滚动的条件。 习题 7-27 图 e a C a r a 习题 7-34 图 A (a) R r F B a (b) A C A J 1 F N F mg F A ma B N1 F N2 F a N F 1 F mg (c) ma （a） （b） 253 解：研究轮A，设小车B加速度为a，A轮相对于B车加速度为 r a，则轮A 的绝对加速度为 rA =+aaa 加惯性力，受力如图b所示，由0 C M= ，有 r ()() A FRrm aa RJ+=+ 代入已知量，化简得 r 213 () 39 Rmaa=+ (1) 由0 x F= r1 ()Fm aaF=+ (2) 由0 y F= N Fmg= (3) 再研究车B，其受力分析、运动分析如图c所示，有 1 Fma = (4) 式(4)代入式(2)，得 r 2Fmama=+ (5) 式(1)与式(5)联立解，得 34 F a m = (向左) 纯滚时，有 N FF fmgf= 即 34 F mmgf m 故有 34Fmgf 为纯滚动条件。 注意：注意： (1) 当物体受恒定外力场作用时，加速度恒定，可直接加惯性力求解。 (2) 小车B的加速度方向，即A对B的摩擦力方向，作为待求量，可事先任 意假定。此处a与假定方向相反。 254 习题7-38 （非稳态动力问题）（非稳态动力问题）如图a所示，质量为m