空间直线及其方程(29).ppt

1,第一节、向量及其线性运算,第三节、曲面及其方程,第8章,本章内容：,第二节、数量积 向量积 混合积*,第八章,空间解析几何 与向量代数,第四节、空间曲线及其方程,第五节、平面及其方程,第六节、空间直线及其方程,2,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,六、小结及作业,3,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,4,通过空间直线L的平面有无穷多个，,其中任意两个,平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线,L，因此直线L的方程不是唯一的。,例如：坐标面,方程组,和,都通过,轴，因此,是,轴的一般式方程。,而平面,和,也通过,轴，因此,方程组,轴的一般式方程。,也是,5,凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向,一条直线的方向向量有无穷多个，,向量。,它们是相互,平行的。,任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。,由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行,与已知直线，,所以，当已知直线L上一点,和它的一方向向量,直线L的位置就完全,确定了。,二、空间直线的对称式方程与参数方程,6,建立直线 L 的对称式方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,此方程中实际包含了两个平面方程,方程组中两个方程均为一次的平面方程,7,说明: (1)某些分母为零时, 其分子也理解为零.,直线方程为,例如, 当,直线方程为,当,8,2. 参数式方程,设,得直线L的参数式方程 :,为参变量,注意：,空间直线的方程都是方程组形式。,空间平面方程是一个一次方程，,两者不同，不能混淆！,9,10,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,11,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,12,写出直线,的参数方程.,令,解得,即点,故直线参数方程为,解 直线的方向向量为,(统考题),在直线上，,例3,13,解,所以交点为,所求直线方程,14,15,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,16,代入平面方程得 ,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,17,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,18,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,19,例7,20,例8：一直线过点M1（1，1，0）且与z轴相交，,求直线L的方程。,解：设直线L与z轴的交点为M2（0，0，z)，,由于直线L,过点（1，1，0），,则L的一个方向向量,又L与z轴的夹角为,轴的一个方向向量为（0，0，1）,所以L的方向向量,所以直线L的方程,其夹角为,21,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,四、直线与平面的夹角,22,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,23,解,为所求夹角,24,25,26,27,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,28,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,29,平面 :,L,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,30,31,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过