高中数学单元质量评估（三）（含解析）新人教A版.docx

单元质量评估(三) (第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的瞬时变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2.2.若f(x0)=-3,则=()A.-12B.-9C.-6D.-3【解析】选A.因为=+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以=-12.3.函数f(x)=2x-cosx在(-,+)上()A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值【解析】选A.f(x)=2+sinx0恒成立,所以f(x)在(-,+)上单调递增.4.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A.-1B.0C.-239D.33【解析】选C.g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:x01g(x)-0+g(x)0极小值0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.5.已知函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上既有极大值,也有极小值,则实数a的取值范围为()A.a13B.a13C.a13且a0D.a13且a0【解题指南】函数有极大值、极小值说明该函数的导数值等于0至少有两个根,由一元二次方程根的判别式即可求解.【解析】选C.f(x)=3ax2-2x+1,函数f(x)在(-,+)上有极大值,也有极小值,等价于f(x)=0有两个不等实根,即解得a且a0.6.(2016沈阳高二检测)三次函数f(x)=mx3-x在(-,+)上是减函数,则m的取值范围是()A.m0B.m0,即有m-0,解得m.9.若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)【解析】选D.因为2x(x-a)x-.令f(x)=x-,所以f(x)=1+2-xln20.所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+).10.如果圆柱的轴截面周长为定值4,则圆柱体积的最大值为()A.827B.1627C.89D.169【解题指南】先确定一个变量,再确定一个函数关系式,求导确定函数的最值,并注意自变量的取值范围.【解析】选A.设圆柱横截面圆的半径为R,圆柱的高为h,则2R+h=2.因为V=R2h=R2(2-2R)=2R2-2R3,所以V=2R(2-3R).令V=0,则R=0(舍)或R=.经检验知,当R=时,圆柱体积最大,此时h=,Vmax=.11.(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)【解析】选A.记函数g(x)=,则g(x)=,因为当x0时,xf(x)-f(x)0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0x0,则f(x)0;当x-1时,g(x)0,综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+)上的可导函数,满足(x-1)2f(x)+xf(x)0(x1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2016,则a等于()A.-500.5B.-501.5C.-502.5D.-503.5【解析】选C.令F(x)=x2f(x),则F(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),当x1时,F(x)0,F(x)在(1,+)上递增;当0x1时,F(x)0,又x1.所以f(x)的单调增区间为(-,1),(1,+).答案:(-,1),(1,+)16.(2016青岛高二检测)已知函数f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是.【解析】由于f(x)=1+0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30.求g(4).【解析】由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,所以a=c,由f(5)=30,得25+5a+b=30.由可得a=c=2,由得b=-5,再由得d=-,所以g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=472.18.(12分)已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切,且以P为切点的直线方程.(2)求使直线l和y=f(x)相切,且切点异于P的直线方程.【解题指南】(1)由已知可得斜率函数为f(x)=3x2-3,进而求出所过点的切线的斜率,代入点斜式公式即可.(2)设另一切点为(x0,y0),求出该点切线方程,再由条件计算.【解析】(1)由f(x)=x3-3x,得f(x)=3x2-3,过点P以P(1,-2)为切点的直线的斜率f(1)=0,所以所求直线方程为y=-2.(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f(x0)=3x02-3,又直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=,又=3x02-3,即x03-3x0+2=3(x02-1)(x0-1).解得x0=1(舍去),或x0=,故所求直线的斜率为k=3=-.所以直线l的方程为y-(-2)=-(x-1).即9x+4y-1=0.【规律方法】用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P的切点的切线方程为:y-y0=f(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2+xlnx.(1)求f(x).(2)求函数f(x)图象上的点P(1,1)处的切线方程.【解题指南】(1)直接使用求导公式和法则得结果.(2)由导数的几何意义,求切线斜率,再由点斜式得切线方程.【解析】(1)f(x)=(x2)+(xlnx)=2x+1lnx+x=2x+lnx+1.(2)由题意可知切点的横坐标为1,所以切线的斜率是k=f(1)=21+ln1+1=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.19.(12分)已知函数f(x)=x3-ax2,其中xR,a为参数.(1)记函数g(x)=16f(x)+lnx,讨论函数g(x)的单调性.(2)若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点且交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).【解题指南】(1)整理函数g(x)解析式,求得其导函数g(x),结合函数定义域对参数a的范围加以讨论,从而得到g(x)的正负,确定函数的单调性.(2)将证明不等式f(x)g(x)转化为求函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3的最小值问题,从而借助于导数求解.【解析】(1)函数g(x)的定义域是(0,+),f(x)=3x2-2ax,g(x)=(3x2-2ax)+lnx,g(x)=(6x-2a)+=x+-2-.当a6时,则2-0,所以g(x)0,所以函数g(x)在定义域(0,+)上单调递增,当a6时,令g(x)=0,则x1=,x2=.可知函数g(x)在上单调递增,在单调递减,在上单调递增.(2)令f(x)=0,则x=0或x=a.若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点,则a0且交点坐标为P(a,0).又f(x)=3x2-2ax,则f(a)=a2,所以曲线在点P处的切线方程为y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,h(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),函数h(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+)上单调递减,所以当x=a时,h(x)有最小值,所以h(x)0,则f(x)g(x).20.(12分)(2015全国卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x时,f(x)0;x时,f(x)0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等价于lna+a-10,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).21.(12分)若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-43.(1)求函数的解析式.(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.【解析】f(x)=3ax2-b.(1)由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=2或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)-43因此,当x=-2时,f(x)有极大值283,当x=2时,f(x)有极小值-,所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图所示.若f(x)=k有3个不同的根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-k283或k1.【解题指南】(1)先代入m=1,对f(x)求导数,再算出f(1),f(1),进而可得曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)利用(1)中结论进行放缩可先构造函数g(x)=ex-lnx-2,再利用导数可得g(x)的最小值,进而可证当m1时,f(x)1.【解析】(1)当m=1时,f(x)=ex-lnx-1,所以f(x)=ex-.所以f(1)=e-1,f(1)=e-1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.(2)当m1时,f(x)=mex-lnx-1ex-lnx-