高中数学基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用学案.docx

第2课时指数函数及其性质的应用学习目标1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点).考查方向题型一指数函数单调性的应用方向1比较两数的大小【例11】(1)下列大小关系正确的是()A.0.4330.40 B.0.43030.4C.30.40.430 D.030.40.43(2)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.bac D.bca解析(1)0.430.4010301.501，0.60.60.60.6，又函数y0.6x在(，)上是减函数，且1.50.6，所以0.61.50.60.6，故0.61.50.60.6ax7(a0，且a1)，求x的取值范围.(1)解析2，原不等式可化为.函数y在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0.答案x|x0(2)解当a1时，a5xax7，5xx7，解得x；当0aax7，5x.综上所述，x的取值范围是：当a1时，x；当0a.方向3指数型函数的单调性【例13】判断f(x)的单调性，并求其值域.解令ux22x，则原函数变为y.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y在(，)上递减，y在(，1上递增，在1，)上递减.ux22x(x1)211，y，u1，)，03，原函数的值域为(0，3.规律方法1.比较幂值大小的三种类型及处理方法2.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0a1两种情况分类讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解.3.函数yaf(x)(a0，a1)的单调性的处理技巧当a1时，yaf(x)与yf(x)的单调性相同，当0a，当n8时，y，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.规律方法指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示，这是非常有用的函数模型.【训练1】春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了_天.解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y2x1，当x20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.答案19题型三指数函数性质的综合应用【例3】已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围.解(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知f(x)，故f(x)在R上为减函数.(3)f(x)为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k0.(1)解由题意得2x10，即x0，f(x)的定义域为(，0)(0，).(2)解由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.令g(x)，(x)x3，则f(x)g(x)(x).g(x)g(x)，(x)(x)3x3(x)，f(x)g(x)(x)g(x)(x)g(x)(x)f(x)，f(x)x3为偶函数.(3)证明当x0时，2x1，2x10，0.x30，f(x)0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x0也成立.故对于x(，0)(0，)，恒有f(x)0.课堂达标1.已知0.3m0.3n，则m，n的大小关系为()A.mn B.m0.3n，所以mn.答案B2.已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数.y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.答案A3.函数y的单调递增区间为()A.(，) B.(0，)C.(1，) D.(0，1)解析定义域为R.设u1x，y.u1x在(，)上为减函数，又y在(，)上为减函数，y在(，)上是增函数，选A.答案A4.不等式232x0.53x4的解集为_.解析原不等式可化为232x243x，因为函数y2x是R上的增函数，所以32x43x，解得x1，则解集为x|x1.答案x|x0，且a1).解(1)因为函数y1.8x是R上的增函数，且0.10.2，所以1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31.901，0.73.10.73.1.(3)当a1时，函数yax是R上的增函数，又1.32.5，故a1.3a2.5；当0a1时，函数yax是R上的减函数，又1.3a2.5.课堂小结1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定，需分0a1两种情况进行讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解.基础过关1.若82a，所以a.故选A.答案A2.函数f(x)ax(a0且a1)是()A.奇函数也是偶函数 B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数 D.奇函数解析f(x)的定义域为R，且f(x)axaxaxf(x)，故f(x)是偶函数.答案B3.已知a30.2，b0.23，c(3)0.2，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bacC.cab D.bca解析a30.2(1，3)，b0.2353125，c(3)0.2ac.答案B4.已知函数f(x)为奇函数，则n的值为_.解析由f(0)0，解得n2，当n2时，f(x)，易证其是奇函数.答案25.函数y2x2ax在(，1)内单调递增，则a的取值范围是_.解析由复合函数的单调性知，x2ax的对称轴x1，即a2.答案2，)6.已知函数f(x).(1)当a1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(2，)上递减，y在R上是减函数，f(x)在(2，)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(2，).(2)令h(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1.因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.7.某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万平方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)解列表如下：经过的年数木材蓄积量(万立方米)02001200(15%)2200(15%)23200(15%)3x200(15%)x由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)200(15%)x2001.05x.当x9时，f(9)2001.059310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.能力提升8.若函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.(1，) B.(1，8)C.(4，8) D.4，8)解析由题意可知，f(x)在R上是增函数，所以解得4a8，故选D.答案 D9.，34，的大小关系为()A.34B.34C.34D.34解析因为y是R上的减函数，所以.答案A10.已知f(x)x2，g(x)m.若对任意x11，3，总存在x20，2，使得f(x1)g(x2)成立，则实数m的取值范围是_.解析由f(x)的单调性可知f(x)x2在1，3上的最小值为f(0)0，又g(x)在0，2上是减函数，故g(x)的最小值为g(2)m，由题意得0m，即m.答案11.设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.解析由题意得：当x时，2x2x1恒成立，即x；当01恒成立，即01x，即0)在区间2，3上有最大值4和最小值1.设f(x).(1)求a，b的值.(2)若不等式f(2x)k2x0在x1，1上有解，求实数k的取值范围.解(1)g(x)a(x1)21ba，因为a0，所以g(x)在区间2，3上是增函数，故解得(2)由(1)可得f(x)x2，所以f(2x)k2x0可化为2x2k2x，化为12k.令t，则kt22t1.因x1，1，故t.记h(t)t22t1，因为t，故h(t)max1，所以实数k的取值范围是(，1.13.(选做题)若定义域为R的函数f(x)是奇函数.(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在(，)上为减函数.(3)若对于任意tR，不等式f(t22t)f(2t2k)恒成立，求k的取值范围.(