高中数学第二章双曲线课后提升作业（十三）双曲线的简单几何性质检测（含解析）.docx

课后提升作业 十三双曲线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若实数k满足0k5,则曲线-=1与曲线-=1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】选D.因为0k0),所以a2+a2=62,所以a2=18,故双曲线方程为-=1.【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1或-=1D.以上都不对【解析】选C.当顶点为(4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.3.(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点.若0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.由双曲线方程可知F1(-,0),F2(,0),因为0,所以(-x0)(-x0)+(-y0)(-y0)0.即+-30,所以2+2+-30,所以-y01)与双曲线C2：-y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )Amn且e1e21Bmn且e1e21Cm1Dmn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21，所以e1e215.(2016吉林高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点在圆x2+y2-4x-5=0上,则双曲线的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选B.因为方程表示双曲线,所以m0,因为a2=9,b2=m,所以c2=a2+b2=9+m,所以c=.因为双曲线的一个焦点在圆上,所以是方程x2-4x-5=0的根,所以=5,所以m=16,所以双曲线的渐近线方程为y=x.【补偿训练】(2015安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1【解析】选C.由双曲线的焦点在y轴上,排除A,B;对于D,渐近线方程为y=x,而对于C,渐近线方程为y=2x.6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,所以=.所以m=9.所以双曲线的焦点为(0,),焦点F到渐近线的距离为d=3.7.(2016郑州高二检测)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.D.【解析】选C.双曲线的渐近线为直线y=x,即x2y=0,顶点为(2,0),所以所求距离为d=.8.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均与C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于()A.B.C.D.【解析】选A.圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015全国卷)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.答案:-y2=1【延伸探究】求双曲线方程的两个关注点1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程-=(0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.10. (2016北京高考)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(,0)，则a= ，b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=x，焦点(c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x，所以=2.焦点(,0) ，所以c=.所以a2+b2=c2=5.由联立解得a=1,b=2.答案：1 2三、解答题(每小题10分,共20分)11.设双曲线-=1(0ab)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.【解题指南】由截距式得直线l的方程,再由双曲线中a,b,c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而求出离心率.【解析】由l过两点(a,0),(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得=c.将b=代入,平方后整理,得16-16+3=0.令=x,则16x2-16x+3=0,解得x=或x=.由e=有e=.故e=或e=2.因为0a,所以e=应舍去,故所求离心率e=2.12.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,F1PF2=,且PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.【解析】设双曲线方程为-=1(a0,b0),F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|PF2|.又因为=2,所以|PF1|PF2|sin=2.所以|PF1|PF2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.又因为e=2,所以a2=.所以双曲线的标准方程为-=1.【能力挑战题】已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程.(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为-=1,所以c2=a2+b2=3