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文档简介
2.2 解析函数和调和函数,1、共轭调和函数,由复变函数的可微的充要条件,函数可微必须满足C-R条 件,即: 。而由C-R条件有:,显然有:,定义1(调和函数):如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏 导数,并且满足: ,则称u(x,y)为区域D中的调和 函数。 称为Laplace方程。,定理1:在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其实部 和虚部都是该区域上的调和函数。,* 若u(x,y),v(x,y)是任意选取的两个调和函数,则f(z)却不一定解析。,例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数,并求以它 为实部的解析函数。,解:,显然: , u(x,y)为调和函数。,若以u(x,y)为实部,则函数解析必须满足C-R条件,所以:,由方程(1)解得:,将其带入到(2)中有:,解得:,最后可以将解析函数表示为:,* 显然一个解析的复变函数的实部和虚部并不是独立的任意选 取的实函数,而是由C-R条件联系在一起的一对共轭实调和 函数。,定理2:在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。,2、共轭调和函数的几何意义,在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),若f(z)0,并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线:,可以证明,两条曲线在交点处正交。,证明:若令两个曲线的交点为(x0,y0),则:,实部函数和虚部函数的梯度场函数为:,所以,在交点处两个等值线的法向量为:,现在做两个向量的内积:,很显然,两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。,例2,在复平面上的
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