(好资料)2007年高考“圆锥曲线”题--高考数学试题全解

2007年高考“圆锥曲线”题1(全国) 已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）ABCD解：已知双曲线的离心率为2，焦点是，则c=4，a=2，双曲线方程为，选A。抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是（）A BCD解：抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，垂足为K(1，2)， 正AKF的面积是4，选C。已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则 ，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为2(全国II) 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。3（北京卷）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为4（天津卷）设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.B.C.D.解：由可得故选D.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.(I)证明：；(II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程.解：(I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即 解得从而得到直线的方程为整理得由题设，原点到直线的距离为即将代入上式并化简得即 证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作垂足为易知故由椭圆定义得又所以解得而而得即（II）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为所以直线的方程为或其中点的坐标满足方程组将式代入式，得整理得于是 由式得由知将式和式代入得 将代入上式，整理得当时，直线的方程为点的坐标满足方程组 所以由知即解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为 可知直线的方程为记（显然点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得于是由式得由式得将式代入式得整理得于是由知将式和式代入得 将代入上式，得所以，点的轨迹方程为5(上海卷) 以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 解：双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（3,0），则抛物线的顶点为（3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”yO.x.与，轴的交点（1） 若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由yO.Mx解：（1） ， 于是，所求“果圆”方程为 ， （2）由题意，得 ，即 ，得 又 （3）设“果圆”的方程为， 记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上6（重庆卷）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|FQ|的值为_.解： 代入得： 设 又 如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；(4分)（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明: 为定值，并求此定值。(8分)答（22）图解：（I）设椭圆方程为因焦点为，故半焦距又右准线的方程为，从而由已知，因此，故所求椭圆方程为（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此，而，故为定值7（辽宁卷）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD解： 因为，设，根据双曲线定义得，所以，为直角三角形，其面积为，选B设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= 解： 椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以8（江苏卷）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）A B C D解： 由，得，所以，设，则，故选（A）。如图，在平面直角坐标系中， 过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（1） 试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。9(广东卷) 在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是_;解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y-5=0，把焦点坐标(，0)代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程x= -。 在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2 即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c=4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。10(福建卷) 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）ABCD解： 右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，圆方程为，即A ，选A. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为_解：设c=1，则.Oyx1lF如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值.解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）设直线的方程为：PBQMFOAxy设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即11(安徽卷) 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）（B）（C）（D）解：如图，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。12(湖南卷) 设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD解：由已知P，所以的中点Q的坐标为，由 当时，不存在，此时为中点，综上得选D另解：根据题意及中垂线性质知，P点满足其中Q为右准线与x轴的交点，已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即 于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）13（湖北卷）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）ABCDxyMF1F2DLO解：由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故 由定义可得 故原式，选A在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由ABxyNCO（此题不要求在答题卡上画图）解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得NOACByx由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得， 又由点到直线的距离公式得从而，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线14（江西卷）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能解： 由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选A设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点解法一：（1）在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，解法二：（1）同解法一（2）设，的中点为当时，因为，所以；当时，又所以；由得，由第二定义得所以于是由得因为，所以，又，解得：由知15（山东卷）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 解：过A 作轴于D，令，则，。已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得 ，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为16(陕西卷) 抛物线y=x2的准线方程是（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0解：P=，准线方程为y=，即，选A已知双曲线C：(a0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是A. B. C.a D.b解：圆的半径是（C，0）到渐近线的距离，R=，选D.已知椭圆C:（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值17（四川卷）如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（）（A）（B）（C）（D）解：由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是选A已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）（A）3 （B）4 （C） （D）解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出选C设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解：（）解法一：