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热传导方程的导出,热传导问题三类边界条件,三维热传导方程推导,几个记号,记,与Laplace算子相关的另一算子(梯度算子(grad),或,显然,梯度算子,其中, k 是导热系数, u(x, y, z) 是导热体中的温度,付里叶热传导定律:,在dt时段内,通过面积元dS流入体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比, 也与 dS 和dt成正比,通过曲面进入导热体的总热量:,三维热传导方程推导,通过曲面进入导热体的总热量:,温度升高所需热量:,Q1 = Q2,三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz ,Q1 = Q2,记 a2 = k/(c) ,初始条件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z),ut = a2uxx + uyy + uzz =u,II. 第二类边界条件:,III. 第三类边界条件:,I. 第一类边界条件:,(已知边界温度),(边界上有热流进入),(边界上有热交换),热传导问题三类边界条件,一维热传导方程: ut = a2uxx,热传导方程的初边值问题(第一类边界条件),例如,L长的细杆边界上有热流进、出,1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k 2. 在 x = L 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k 3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k 4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k,这里 为沿热流方向的方向导数,边界上有热交换,拉普拉斯方程与拉普拉斯算子,二维热传导方程: ut = a2uxx + uyy,三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz ,热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。,ut =0,uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程),或,正方
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