高中数学考前过关训练（二）（含解析）新人教A版选修.docx

考前过关训练(二)圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015湖南高考)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=.【补偿训练】(2016长沙高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1PQ,则椭圆的离心率为()A.23B.33C.53D.73【解题指南】连接OA,PF1,则OAPQ,又PF1PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选C.连接OA,PF1,则OAPQ,又PF1PQ,可得OAPF1,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e=53.2.(2016南昌高二检测)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.3.(2016广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是()A.x216-y220=1B.y216-x220=1C.x220-y216=1D.y220-x216=1【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a0,b0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为-=1.4.(2016西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()A.14B.35C.34D.45【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=2=m.所以|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,所以cosF1PF2=.5.(2016桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,=48,则抛物线的方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=42x【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以ABC=30,|=2p,=4p2pcos30=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AFBF,设ABF=,且,则该椭圆离心率e的取值范围为()A.22,3-1B.22,1C.22,32D.33,63【解析】选A.已知椭圆+=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N连接AF,AN,BN,BF,所以:四边形AFBN为长方形.根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,ABF=,则ANF=.所以:2a=2ccos+2csin利用e=,所以+,则22-1,即椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016济南高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,-p2,即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,所以=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x【补偿训练】若曲线x2k-2+y2k+5=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5k-2,又曲线+=1的焦距与k无关,所以k+50,k-20,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,).答案:(0,)8.(2016青岛高二检测)已知椭圆x24+y22=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则-,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1x2,所以直线l的斜率k=-.答案:-9.(2016重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为y=33x或y=x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足33,解得1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当=0时,有9=.(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求的最大值.【解析】(1)因为=0,所以有,所以AF1F2为直角三角形,所以|cosF1AF2=|,因为9=,所以9=9|cosF1AF2=9|2=|2,所以|=3|,又|+|=2a,所以|=,|=,在RtAF1F2中,有|2=|2+|2,即=+4(a2-1),解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.(2)=(-)(-)=(-)(-)=(-)2-=-1,从而将求的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有x022+=1,即=2-2,又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0-1,1,所以当y0=-1时,取最大值9,故的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p0),RtAOB内接于抛物线,O为坐标原点,AOBO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=513,求抛物线的方程.【解题指南】根据AOBO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.【解析】因为AOBO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,把直线y=-12x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p0)相交于B,C.(1)当直线l的斜率是12时,=,求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.由p0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存