高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算（第3课时）向量数乘运算及其几何性质教案.docx

第3课时向量数乘运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P87P90的内容，回答下列问题(1)已知非零向量a，根据向量的加法，作出aaa和(a)(a)(a)，你认为它们与a有什么关系？提示：aaa3a的长度是a长度的3倍，且方向相同；(a)(a)(a)3a的长度是a长度的3倍，且方向相反(2)a与a(0，a0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反，且a的长度是a长度的|倍(3)若ab，则a与b共线吗？提示：共线2归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；a(a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00.(2)向量数乘的运算律设，为实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.特别地，()a(a)(a)，(ab)ab.(3)共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b.问题思考(1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如a，2b无法运算(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向(3)0时，a0；a0时，a0，这两种说法正确吗？提示：不正确，a0中的“0”应写为“0”课前反思(1)向量数乘的概念： ；(2)向量数乘的运算律： ；(3)共线向量定理： ；(4)向量的线性运算： .知识点1向量的线性运算思考向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数讲一讲1化简下列各式：(1)3(6ab)9； (2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.尝试解答(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.类题通法向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算练一练1(1)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)(2)已知向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，试用向量a，b表示向量x，y.解：(1)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.(2)由题知3x2ya，4x3yb.由32，得x3a2b.代入，得3(3a2b)2ya，所以y4a3b.知识点2用已知向量表示未知向量讲一讲2.已知在ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点若e1，e2，试用e1，e2表示，.尝试解答M，N分别是DC，BC的中点，MN綊BD.e2e1，22e22e1.又AO是AMN的中线，()e2e1.类题通法用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用练一练2.如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a，b表示，.解： ()(ab)，babab.，()(ab)(ab)abab.知识点3共线向量定理的应用思考1如何证明向量a与b共线？名师指津：要证向量a与b共线，只需证明存在实数，使得ba(a0)即可思考2如何证明A，B，C三点在同一条直线上？名师指津：证明与或与共线即可讲一讲3(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值尝试解答(1)证明：e13e2，2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB与BD有交点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数使，即()，所以(1) ，故x1，y，即xy1.类题通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法练一练3(1)已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是()A与 B与C与 D与(2)设e1，e2是两个不共线的向量，2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值解析：(1)因为，所以0，即2，所以与共线(2)若A，B，D三点共线，则与共线设 (R)，2e1e2(e13e2)e14e2，2e1ke2e14e2.由e1与e2不共线可得2，k8.答案：(1)B课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用2掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，与共线；反之不一定成立4要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程5注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作ABCD，且a，b，则对角线所对应的向量ab，ab.(2)在ABC中，若D为BC的中点，则( )(3)在ABC中，若G为ABC的重心，则0.课下能力提升(十六)学业水平达标练题组1向量的线性运算1.等于()A2ab B2baCba Dab解析：选B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.2已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A BC D解析：选B和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误题组2用已知向量表示未知向量3在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc解析：选A依题意2，() bc，选A.4在ABC中，点P是AB上一点，且，又t ，则t的值为()A. B. C. D.解析：选A由题意可得() ，又t ，t.5设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2R)，则12的值为_解析：由() ，得1，2，从而12.答案：6.如图所示，已知ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解：法一：设x，则x，e1x，e1x，又x，由得xe1xe2，解方程，得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e2.法二：设x，y，则x，y.由，得2得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)e2e1，同理得y(2e1e2)，即e1e2.法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E.则DLACLE，从而2，由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.题组3共线向量定理的应用7对于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共线的有()A BC D解析：选A对于，ab；对于，ab；对于，a4b；对于，若ab(0)，则e1e2(2e12e2)，即(12)e1(12)e20，所以12120，矛盾，故中a与b不共线8设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由2()，得 .同理可得，所以，故选A.9已知e1，e2是两个不共线的向量，而ak2e1e2与b2e13e2是两个共线向量，则实数k_.解析：由题设知，所以3k25k20，解得k2或.答案：2或10已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形解：(1) (e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方向相同，且的长度为BC长度的2倍，即在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形能力提升综合练1设D为ABC所在平面内一点，3，则()A B C D 解析：选A() .2已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是()2a3b4e且a2b2e；存在相异实数，使ab0；xayb0(其中实数x，y满足xy0)；已知梯形ABCD，其中a，b.A BC D解析：选A由2a3b2(a2b)得到b4a，故可以；ab0，ab，故可以；xy0，有xayb0，但b与a不一定共线，故不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故不可以3已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3C4 D5解析：选B如图，在ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得，又0，则，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，设BCMDE，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是ABC的中线，同理可证BM，CM也在ABC的中线上，即M是ABC的重心以AB、AC为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法则可得223，则3.4如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)()2；.A BC D解析：选A依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有x(1x) x(1x)，其中0x1，1，注意到x(1x)1；注意到1231，1，1，1，故选A.5在四边形ABCD中，3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_解析：由已知可得，所以，且| |.又|，所以四边形ABCD为等腰梯形答案：等腰梯形6如图，在ABC中，延长CB到D，使BDBC，当点E在线段AD上移动时，若，则t的最大值是_解析：设k,0k1，则k(2)k2()2k k，t3k.又0k1，当k1时，t取最大值3.故t的最大值为3.答案：37如图，已知在平行四边形ABCD中，