伍德里奇《计量经济学导论--现代观点》.ppt

第 四 章,随 机 变 量 的 数 字 特 征,一、随机变量的数学期望,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,1. 离散型随机变量的数学期望,一、随机变量的数学期望,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,例2 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金, 想投资 于某项目, 欲估成功的机会为 30 %, 可得利润8万元 , 失败的机会 为70%, 将损失 2 万元.若存入银 行, 同期间的利率为5% , 问是否 作此项投资?,解,设 X 为投资利润,则,存入银行的利息:,故应选择投资.,例3,解,例4 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为,则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.,=np,例5 泊松分布,则有,例6 几何分布,则有,2.连续型随机变量数学期望的定义,定义4.2,设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例7 顾客平均等待多长时间?,例8 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例9 指数分布,则有,例10 正态分布,则有,实例11 设随机变量X服从,求E(X),解: E(X)= 例12 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在.,若X为离散型随机变量，分布律为,Y=f(X)为X的函数,则Y的期望为,1. 离散型随机变量函数的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,2. 连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型的,它的分布密度为 p(x) 则,3. 二维随机变量函数的数学期望,解,例13 设 (X ,Y) 的分布律为,1. 设C是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4. 设 X、Y 是相互独立的随机变量, 则有,3. 设 X、Y 是两个随机变量, 则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,推广,解,例14*,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,3. 常见离散型随机变量的数学期望,4.常见连续型随机变量的数学期望,根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少元?,例1 你知道自己该交多少保险费吗?,备份题,解,设1年中死亡人数为X ,被保险人所得赔偿金的期望值应为,若设每人一年须交保险费