清华微积分高等数学第八讲微分中值定理.ppt

2019/7/16,1,作业,P88 习题4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题: 4. 5.,复习：P8088 预习：P8995,2019/7/16,2,应用导数研究函数性态,局部性态 未定型极限 函数的局部近似,整体性态 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形,2019/7/16,3,微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据。,微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间 内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分性质。,2019/7/16,4,第八讲 微分中值定理,一、费尔马 ( Fermat )定理,二、罗尔 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,2019/7/16,5,一、费尔马 ( Fermat )定理,（一）极值的定义：,2019/7/16,6,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,2019/7/16,7,（二）费尔马定理 (极值必要条件),2019/7/16,8,2019/7/16,9,证,2019/7/16,10,2019/7/16,11,微分中值定理的引入,2019/7/16,12,2019/7/16,13,2019/7/16,14,2019/7/16,15,二、罗尔 ( Rolle )定理,2019/7/16,16,怎样证明罗尔定理 ？,先利用形象思维 去找出一个C点来！,想到利用闭区间上连续函数 的最大最小值定理！,2019/7/16,17,罗尔定理的证明：,2019/7/16,18,2019/7/16,19,三、拉格朗日(Lagrange )定理,2019/7/16,20,怎样证明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加条件:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的老问题。,因此想到利用罗尔定理！,2019/7/16,21,满足罗尔定理条件,弦线与f(x)在端点处相等,设,函数,2019/7/16,22,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,2019/7/16,23,拉格朗日公式各种形式,有限增量公式,2019/7/16,24,2019/7/16,25,推论1：,证,2019/7/16,26,推论2：,推论3：,推论4：,2019/7/16,27,四、柯西 (Cauchy )定理,2019/7/16,28,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,2019/7/16,29,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,2019/7/16,30,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数 就是两条曲线,2019/7/16,31,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因此方程至少有三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,2019/7/16,32,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,35,2019/7/16,33,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,2019/7/16,34,证,2019/7/16,35,证明思路直观分析,例3,2019/7/16,36,证,根据连续函数的最大最小值定理,2019/7/16,37,证,2019/7/16,38,44,2019/7/16,39,证,2019/7/16,40,2019/7/16,41,证,2019/7/16,42,2019/7/16,43,2019/7/16,44,证,2019/7/16,45,2