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文档简介

1,3.5 二维随机变量函数的分布,为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.,3.5.1 问题的引入,2,已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,转化为( X ,Y )的事件,求 Z = g( X ,Y )的概率分布,3,当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散,当( X ,Y )为连续r.v.时，,其中,4,的几何意义：,Dz,5,3.5.2 离散型随机变量函数的分布,例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,6,解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,7,故得,-2 -1 0 1 2,-1 0 1 2 3,8,9,设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，,具有可加性的两个离散分布,设 X P (1), Y P (2), 且独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p),则 X + Y P(1+ 2),10,X P(1), Y P(2), 则,Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ,Poisson分布可加性的证明,11,3.5.3 连续型随机变量函数的分布,问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f. ， g(x,y)为已知的二元函数，,求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.,主要方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件.,12,(1) 和的分布：Z = X + Y,设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则,x +y= z,或,13,特别地，若X ,Y 相互独立，则,或,或,称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积,14,例2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一（图形定限法）,显然 X ,Y 相互独立,且,15,16,解法二 从分布函数出发,当z 0 时，,17,当0 z 1 时，,18,当1 z 2 时，,z-1,19,当2 z 时，,20,例3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解 （图形定限法）,由公式（1）,21,当 z 2 ,当 0 z 1,当 1 z 2,f Z (z) = 0,22,这比用分布函数做简便.,23,正态随机变量的结论,若X ,Y 相互独立,则,若(X ,Y ),则,则,推广,24,(2) 极值分布：即极大(小)值的分布,离散随机变量的极值分布 可直接计算,仅就独立情形讨论极值分布,25,解,26,27,设连续随机变量X ,Y 相互独立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y ,
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