概率论与数理统计第九讲习题课.ppt

1,概率论与数理统计,随机变量的函数的分布（2）,2,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作 适当并项即可.,若X是离散型 r.v ，X的分布律为,前面我们讨论了一维随机变量函数的分布.,3,即在求P(Yy) 的过程中，设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,用 代替 X2 y ,若X是连续型 r.v. ，利用已知的 X的分布，求出相应的概率.,4,例1 设二维 r.v. ( X,Y )的分布律为,一、Z=X+Y的分布,1.离散型随机变量的情况,5,解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,6,故得,-2 -1 0 1 2,-1 0 1 2 3,7,8,例2 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的分布律.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,9,例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,2.连续型随机变量的情况,10,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 u = x + y , 得,交换积分次序,11,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,12,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求 Z = X + Y 的概率密度.,13,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,即,14,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,15,例5 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解,由公式,16,当 z 2 ,当 0 z 1,当 1 z 2,f Z (z) = 0,17,18,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形.,可证：若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). (p95例1),可证：有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,19,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它 们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,P(Mz）,FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),=P(Xz,Yz),20,类似地， 可得N = min (X,Y) 的分布函数是,即 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),21,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,(i =0,1，, n),22,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,23,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,24,例6 X,Y 相互独立,都服从参数为0.5的,0-1分布.求M = maxX ,Y 的概率分布.,解,25,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例7设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=0,1,2,26,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),n=0,1,2,如何求Y=min(X1