线性方程与非线性方程的概述与运用.ppt

线性方程与非线性方程的概述与运用,问题背景和研究目的,解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。,求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。,本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。,2.6 非线性方程近似根,相关概念,如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程； 否则称之为非线性方程。,线性方程 与 非线性方程,问题： 如何求连续的非线性方程 实根的近似值。,根的隔离,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根 x*。,基本思想,二分法,将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。,算法,二分法,设方程在区间 a,b 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ，若有 |f(x)| ，则 x 就是f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。,收敛性分析,二分法收敛性,设方程的根为 x* (an , bn ) ，又 ，所以,根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 an , bn ，在 (an, bn ) 中含有方程的根。,二分法总是收敛的,二分法的收敛速度较慢 通常用来给出根的一个 较为粗糙的近似。,简单迭代法, (x) 的不动点,f (x) = 0,x = (x),f (x) 的零点,(x) 称为迭代函数,若 收敛，即 ，假设 (x) 连续，则,收敛性分析,迭代法的收敛性,即,注：若得到的点列发散，则迭代法失效！,迭代法的收敛性判据,定理2.1：全局收敛,定理2.2：全局发散,定理2.3：局部收敛与发散,定理2.4：收敛速度,定义：,迭代法收敛性判断,如果存在 x* 的某个邻域 =(x*- , x* + ), 使得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。,迭代法收敛性判断,L 越小，迭代收敛越快,收敛阶,为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 记 ，如果 ( p=1时还要求01时称为超线性收敛。 p越大收敛越快。,牛顿迭代法,令：,设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 xk 处作 Taylor 展开,牛顿迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,牛顿迭代公式,牛顿法的优点,牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法,对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快， 特别是当迭代点充分靠近精确解时。,在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。,牛顿迭代法大范围收敛性,Matlab 解方程的函数,roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。,fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 inline、字符串、或 ，但不能是方程或符号表达式！,solve(f,x)：求方程关于指定自变量x的解， f 可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。,Ab：解线性方程组Ax=b。,其他 Matlab 相关函数,g=diff(f,x)：求符号表达式 f 关于 x 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,x,n)：求 f 关于 x 的 n 阶导数,diff,f 是符号表达式，也可以是字符串,默认变量由 findsym(f,1) 确定, syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x), g=diff(sin(x)+3*x2,x),作业,每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）： 1） Newton迭代法； 2）自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收敛性） 根据迭代格式用计算机（器）求下列非线性方程的根：,迭代法的加速,设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的 近似根分别为 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk),松弛迭代法,松弛法迭代公式：,松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭代格式，通过加速后也能收敛。,缺点：每次迭代都需计算导数,Altken 迭代法,Al