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信 号 与 系 统,主讲：甘俊英教授 电话：3299348 邮箱：,3.1 引言 3.2 周期信号的傅立叶级数展开 3.3 傅立叶变换 3.4 傅立叶变换的性质 3.5 周期信号的傅立叶变换 3.6 信号抽样与抽样定理 3.7 连续时间LTI系统的频率响应 3.8 连续时间LTI系统的频域分析 3.9 调制与频分复用,第3章 连续时间信号与系统的傅立叶分析, 3.5 周期信号 的傅立叶变换,前面已经指出，周期信号不满足绝对可积条件，按理不存在傅立叶变换，但若允许冲激函数的存在，则周期信号也存在傅立叶变换。周期信号的傅立叶变换是由一串频域上的冲激函数组成，这些冲激函数的强度正比于傅立叶系数。本节的目的是力图把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅立叶变换得到更广泛的应用。下面研究周期信号的傅立叶变换。,周期信号的傅立叶变换,欧拉公式,一、复指数信号和正余弦信号的傅立叶变换,而已知,根据频移性质,所以可得,频谱图：,频率为0 ，频谱为0 处的冲激,频率为0 ，频谱是0 处的冲激,傅立叶变换得到的双边密度谱，必须是在频率轴上对称的两个频率才能合成一个物理上的频率分量。,物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。,注意：,一、复指数信号和正余弦信号的傅立叶变换,设 f (t) 是以 T为周期的周期信号，则 其中 则有 说明：周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于 n0 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 2。,二、一般周期信号的傅立叶变换,例： 已知单位冲激序列函数表示为 , 为周期， 且 ，试求其傅立叶变换。,二、一般周期信号的傅立叶变换,解： 单位冲激序列函数可以展开成傅立叶级数 其中,二、一般周期信号的傅立叶变换,其傅立叶变换为,波形图 频谱图,三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系,设周期信号 ，取其中一个周期得到单周期信号,因为 所以,则单脉冲信号与周期化后的周期信号的傅立叶变换之间的关系为,取不同周期得到的傅立叶变换是不同的，但得到的傅立叶系数是一样的,三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系,例：试求周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为、周期为 T ) 的傅立叶变换。,解： 单脉冲信号 由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有,所以有,频谱图,三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系, 3.6 信号抽样与抽样定理,信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。,一、信号抽样,抽样的原理方框图:,一、信号抽样,连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。,周期 信号,需要解决两个问题： 抽样信号 fs (t)的频谱Fs()与原连续信号 f (t)的频谱F()的关系； 2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原连续信号 f (t) 。,假设原连续信号 f (t)的频谱为 F()，即 抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为,一、信号抽样,所以抽样信号的频谱为,其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率，,在时域抽样（离散化）相当于频域周期化,频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。,(1) 冲激抽样 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。,一、信号抽样,冲激序列的傅立叶系数为 所以冲激抽样信号的频谱为,抽样信号的频谱 是以 s 为周期等幅地重复,频谱图：,一、信号抽样,(2) 周期矩形脉冲抽样 若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称为自然抽样,一、信号抽样,在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过程中，幅度不再是等