空间向量及其运算.ppt

8.6 空间向量及其运算 要点梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 的量 叫做空间向量. (2)相等向量：方向 且模 的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直 线互相 于同一平面的向量. (4)共面向量： 的向量.,大小,方向,相同,相等,平行,平行或重合,基础知识 自主学习,2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条 件是 . 推论 如图所示，点P在l上的充要条 件是： 其中a叫直线l的方向向量，tR, 在l上取 ,则可化为,存在实数，使得a=b,（2）共面向量定理的向量表达式： p= ，其中x,yR,a,b为不共线向量，推论的 表达式为 或对空间任意一点O有, 其中x+y+z=1. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向 量p,存在有序实数组x,y,z，使得p= ，把a,b,c叫做空间的一个基底.,xa+yb,xa+yb+zc,3.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O, 作 =a， =b，则 叫做向量a与b的 夹角，记作 ,其范围是 , 若a,b= ,则称a与b ,记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,记作 ,即 .,AOB,a,b,0a,b,互相垂直,|a|b|cosa,b,ab,ab=|a|b|,cosa,b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律:(a)b= ； 交换律：ab= ; 分配律：a（b+c）= . 4.空间向量的坐标表示及应用 （1）数量积的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则ab= . （2）共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则ab , , ,（ab）,ba,ab+ac,a1b1+a2b2+a3b3,a=b,a1=b1,a2=b2,a3=b3,(R),ab (a,b均为非零 向量）. （3）模、夹角和距离公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= ， cosa,b= . 若A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）， 则dAB= = .,ab=0,a1b1+a2b2+a3b3=0,基础自测 1.下列命题中是真命题的是( ) A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是 异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或 相反 C.若向量 ， 满足 且 与 同向，则 D.若两个非零向量 与 满足 + =0， 则 ,解析 A错.因为空间任两向量平移之后可共面， 所以空间任意两向量均共面. B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等，与方向 无关. C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量 的长度进行比较,因此也就没有 这种写法. D对. + =0, =- ， 与 共线，故 正确. 答案 D,2.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上， 且OM=2MA,点N为BC的中点，设 =a, =b, =c，则 等于( ) 解析,B,3.下列命题： 若A、B、C、D是空间任意四点，则有 |a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件； 若a、b共线，则a与b所在直线平行； 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C， 若 （其中x、y、zR）,则P、 A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确； 中当a、b同向时，应有|a|+|b|=|a+b|； 中a、b所在直线可能重合； 中需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面. 答案 C,4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17) 这四个点 (填共面或不共面). 解析 =（3，4，5）， =（1，2，2）， =（9，14，16）， 即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），,共面,B,题型一 空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，设 =a， =b， =c， M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点， 试用a，b，c表示以下各向量： （1） ；（2） ；（3） . 根据空间向量加减法及数乘运算的法 则和运算律即可.,题型分类 深度剖析,解 （1）P是C1D1的中点，,用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.,知能迁移1 如图，在长方体ABCDA1B1 C1D1中，O为AC的中点. (1)化简：,解,y,题型二 共线、共面向量定理的应用 已知E、F、G、H分别是空间 四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点， （1）求证：E、F、G、H四点共面； （2）求证：BD平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一 点O，有 (1）要证E、F、G、H四点共面，可 寻求x,y使 （2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面 平行.,证明 （1）连接BG，则 由共面向量定理的推论知： E、F、G、H四点共面. （2）因为 所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 所以 ，即EH FG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG，FH交于一点M且被M平分.,在求一个向量由其他向量来表示的 时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边 形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分 解，向已知向量靠近，进行求解.若要证明两直线 平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a=b 关系，即可判定两直线平行，如第（1）（2）问即是如此.,知能迁移2 设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面 直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线 段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M、N、 P、Q四点共面. 证明 依题意有,M、N、P、Q四点共面.,(*),题型三 空间向量的模、夹角及数量积 （12分）如图所示，已知空间 四边形ABCD的各边和对角线的长都 等于a，点M、N分别是AB、CD的中点. （1）求证：MNAB，MNCD； （2）求MN的长； （3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值. 把 用 ， ， 表示出来，然后 计算数量积，求模和夹角.,（1）证明 由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两 两夹角均为60.,(q+r-p),(q+r-p)p,(qp+rp-p2）,2分,4分,（2）解,(q+r-p),(q+r-p)2,q2+r2+p2+2（qr-pq-rp）,8分,(3)解,(q+r),10分,（1）用基向量解决问题，首先要选 取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求. （2）注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别 与联系.,11分,12分,知能迁移3 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2， A1AB=A1AD=120. （1）求线段AC1的长； （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； （3）证明：AA1BD. （1）解 如图所示，设 =a， 则|a|=|b|=1，|c|=2. ab=0，ac=bc =21cos 120=-1.,=a+b+c. =（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =1+1+22-2-2=2. （2）解 =a+b+c， =b-c， =（a+b+c）（b-c） =ab-ac+b2-bc+bc-c2 =1+12-22=-2.,又 =（b-c）2=b2+c2-2bc=1+4+2=7. 异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 （3）证明 b-a， =c（b-a） =cb-ca=-1-（-1）=0.,题型四 空间向量坐标及坐标运算 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b, 3a-2b,ab以及a与b所成角的余弦值,并确定, 应满足的条件，使a+b与z轴垂直. 代入向量坐标运算的公式求2a+3b,3a- 2b，ab，利用数量积求a与b的夹角余弦值,利 用（a+b）（0，0，1）=0，确定,的 关系. 解 2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8） =（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）. ab=（3，5，-4）（2，1，8）,=6+5-32=-21. （a+b）（0，0，1） =（3+2，5+，-4+8）（0，0，1） =-4+8=0，即=2， 当，满足=2时，可使a+b与z轴垂直. 空间向量的坐标运算，关键是要注意 向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算 公式.,知能迁移4 已知ABC的顶点A（1，1，1）， B（2，2，2），C（3，2，4），试求 （1）ABC的重心坐标；（2）ABC的面积； （3）ABC的AB边上的高. 解 （1）设重心坐标为（x0,y0,z0）,方法与技巧 1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是 解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定 理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量 积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或 角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量, 然后通过向量的运算或证明去解决问题,在这里, 恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立 空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问 题，在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐 标是解决问题的基础.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难 度,可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的 代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时， 可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套. 2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的 长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成 的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意 两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直 问题一般可转化为向量的数量积为零. 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解. 4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.,一、选择题 1.若a,b,c为空间的一组基底，则下列各项中，能 构成基底的一组向量是 （ ） A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 解析 若c、a+b、a-b共面， 则c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b, 则a、b、c为共面向量，此与a、b、c为空间向 量的一组基底矛盾，故c，a+b，a-b可构成空间 向量的一组基底.,C,定时检测,2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式： A. B. C. D.,( ),解析 答案 A,3.若向量a=(1,2)，b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余 弦值为 ，则等于 ( ) A.2 B.-2 C. D. 解析,C,4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若 a,b,c三向量共面，则实数等于 ( ) 解析 由题意得c=ta+b =(2t-,-t+4,3t-2),D,5.已知直线AB、CD是异面直线,ACCD,BDCD, 且AB=2，CD=1，则异面直线AB与CD所成角的大小 为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析,C,6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在 上 且 N为B1B的中点,则 为 ( ) 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标 系Dxyz， 则A（a，0，0），C1（0，a，a）， 设M（x，y，z）,答案 A,二、填空题 7.如图所示，已知空间四边形ABCD， F为BC的中点，E为AD的中点，若 则= . 解析 如图所示,取AC的中点G,连接EG、GF,8.已知a=（1-t，1-t，t），b=（2，t，t），则|b-a| 的最小值为 . 解析 b-a=（1+t，2t-1，0）， |b-a|=,9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面给出四个命题: 则正确命题的序号是 （填写所有正确命题 的序号）.,解析 由三垂线定理知A1CAB1，正确； AD1与A1B两异面直线的夹角为60，但 的夹角为120, , 注意方向. 答案 ,三、解答题 10.证明三个向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c= -3e1+12e2+11e3共面. 证明 若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面； 若e1、e2、e3不共面，设c=a+b， 即-3e1+12e2+11e3=(-e1+3e2+2e3)+(4e1- 6e2+2e3), 整理得-3e1+12e2+11e3=(4-)e1+(3-6)e2 +(2+2)e3,11.如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M在AC上，且 |