高数课件17换元积分法-2.ppt

换元积分法,直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。,在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,说明结果正确,将上例的解法一般化：,将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 换元法积分公式,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,注,定理说明：若已知,则,因此该定理的意义就在于把,又称为积分的形式不变性,这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。,凑微分,凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化,凑微分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5,解,例6 求,解,例7,解,注意：分子拆项是常用的技巧,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例11 求,原式,例12 求,解,或,例13 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例14 求,解,例15 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,解（三）,类似地可推出,解,例16 设 求 .,令,例17 求,解,例18,解（一）,分子分母同乘以,解（二）,分子分母和差化积,解（三）,分子恰为分母的导数,第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例19 求,解,令,例20 求,解,令,例21 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,说明(3),积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,（三角代换很繁琐）,解,令,例23 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,例24 求,解,令,例25 求,解,令,（分母的阶较高）,例26 求,解,令,基