高中数学阶段通关训练（二）（含解析）新人教A版选修.docx

阶段通关训练(二)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.如果方程x2+ky2=1表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+)D.(0,1)【解析】选D.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆,所以1,所以0k0,b0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为()A.8B.2C.3D.【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是=2,解得b2=8a2,于是c=3a,所以e=3.【补偿训练】1.(2016龙岩高二检测)已知双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.3【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=x,因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以=1,整理得:=3.所以双曲线的离心率为e=2.2.(2016西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是_.【解析】抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为:+=1,所以3k-3=9,所以k=4,所以离心率e=.答案:【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.6.(2014福建高考)设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则=,当y=-1,1时,=5.所以=5+=6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120的等腰三角形,则此椭圆的离心率为_.【解析】由已知得AF1F2=30,故cos30=,从而e=.答案:8.(2014山东高考)已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为_.【解析】由题意知=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即,代入双曲线方程为-=1,得=2,所以=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是_.【解析】由双曲线的渐近线方程为y=x,知=,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.答案:-y2=19.(2016池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点;在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中真命题的序号为_.【解析】正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(5,0);不正确,根据椭圆的定义,当k|AB|时是椭圆;正确,方程2x2-5x+2=0的两根为或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.答案:10.(2016青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l,与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则-,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1x2,所以直线l的斜率k=-.答案:-三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)(2016漳州高二检测)(1)抛物线的顶点在原点,准线方程为y=-1,求抛物线的标准方程.(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.【解析】(1)依题意可设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),因为准线为y=-1,所以=1,即p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y.(2)设双曲线方程为x2-4y2=,因为双曲线经过点(2,2),所以=22-422=-12,故双曲线方程为-=1.12.(12分)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长.【解析】将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,由得k-1且k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得:x1+x2=4k2=k+2k2-k-2=0.解得:k=2或k=-1(舍去)由弦长公式得:|AB|=2.13.(13分)(2016福州高二检测)设抛物线y2=2px(p0),RtAOB内接于抛物线,O为坐标原点,AOBO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线方程.【解题指南】根据AOBO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5及勾股定理求得p.【解析】因为AOBO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A点坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B点坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.14.(13分)(2016西安高二检测)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)将点代入易求方程.(2)假设存在,根据条件求出直线,注意验证.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=1.又因为-1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.【补偿训练】(2016泉州高二检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(ab0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.(1)求椭圆W的标准方程.(2)当AC的斜率为时,求线段AC的长.(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.【解析】(1)由=,设a=3k(k0),则c=k,b2=3k2,所以椭圆W的方程为+=1,把x=k代入椭圆方程,解得y=k,于是2k=,即k=,所以椭圆W的标准方程为+y2=1.(2)由已知A(0,-1),直线AC的方程为y=x-1.由得2x2-3x=0,解得x=或x=0(舍),所以点C的坐标为,所以|AC|=.(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k10.由得(3+1)x2-6k1x=0,解得x=或x=0(舍),所以点C的横坐标为,设点D的坐标为(x0,y0),则x0=,y0=k1x0-1=,因为以AB为直径的圆恰过点D,所以|OD|=1,即+=1.整理得=,所以k1=.【能力挑战题】(2016日照高二检测)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1(ab0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e=.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,