信号与系统教案第5.ppt

基本离散信号,（1）单位(样值)序列(k)的定义,取样性质：,f(k)(k) = f(0)(k),f(k)(k k0) = f(k0)(k k0),例,单位样值序列(k),5-1离散时间信号,基本离散信号,（2）单位阶跃序列(k),(k)与(k)的关系,(k) = (k) (k 1),或,基本离散信号,（2）门函数序列,gN(k)与(k) 的关系,gN(k) = (k) (k N),通常，利用门函数来限定其他序列的取值范围，如，f(k)=kg4(k)，其取值限定在0，1，2，3四个点上。,离散信号的运算与变换,相加 两个离散信号f1(k)和f2(k)相加是指它们同序号的值逐项对应相加，其和为一新的离散信号f(k)，即 f(k)=f1(k)+f2(k) 例如，图中(a)，(b)所示的离散时间信号进行相加，其结果为（c）,离散信号的运算与变换,离散信号的运算与变换,相乘 两个离散信号f1(k)和f2(k)相乘是指它们同序号的值逐项对应相乘，其积为一新的离散信号f(k)，即 f(k)=f1(k)f2(k) 例如，图中(a)，(b)所示的离散时间信号进行相乘，其结果为（d）,（3）离散信号的差分运算 指相邻两个序列值的变化率 一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) f(k) 一阶后向差分定义：f(k) = f(k) f(k 1),二阶差分可定义为,累加 离散信号f(k)的累加是指对f(k)进行多项值累加而得到一个新的离散信号y(k)，即 累加的运算可用累加器实现。,离散时间信号的变换,（1）平移,离散时间信号的变换,（2）反转,1 2 3,2 1 0,-3 -2 -1,2 1,f(k),f(-k),(3)尺度变换 连续信号的尺度变换是对信号的展缩，序列的尺度变换实际上是对信号的抽取或插入，二者的尺度变换有着本质的区别。 离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。,LTI离散系统的描述和数学模型,5.2 LTI离散系统的描述和数学模型,差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,3.1 LTI离散系统的响应,例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 （可用经典的方法求解，但比较繁琐。）,5.3 卷积和,5.3 卷积和,一、卷积和,1 .序列的时域分解,任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + ,5.3 卷积和,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齐次性：,f (i) h(k-i),由叠加性：,f (k),yf(k),卷积和,5.3 卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,5.3 卷积和,例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yf(k)。,解： yf(k) = f (k) * h(k),当i k时，(k - i) = 0,(k)*(k) = (k+1)(k),5.3 卷积和,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。,5.3 卷积和,例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),5.3 卷积和,三、不进位乘法求卷积,f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + ,例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,=+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + ,5.3 卷积和,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,排成乘法,5.3 卷积和,例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1,教材上还提出一种列表法，本质是一样的。,5.3 卷积和,四、卷积和的性质,1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.,2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0),3. f(k)*(k) =,4. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k),5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),求卷积和是本章的重点。,5.3 卷积和,例1 如图复合系统由三个子系统组成，其中 h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。,解 根据h(k)的定义，有,h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k),= h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5),5.3 卷积和,例2 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中 h1(k) = 2co