(考试资料下载)微分几何教案曲面论（十八）

微分几何教案（二十五） 6.6曲面上向量的平行移动6.6 曲面上向量的平行移动在本节，我们把空间或平面上矢量的平行移动的概念推广到一般曲面。一 曲面上的向量及其平行移动 1 曲面上的向量、向量场曲面上给定点处切于此曲面的向量叫做曲面在该点的一个向量。 设已知一个曲面S和一个与S在P点相切而不等于零的矢量，如果把在空间里（按通常意义）平移，使它的始点从M点移到S上的另一点，则在点一般和S不相切。 设(C)是曲面上一条曲线，其方程: (i=1,2) ,在(C)的每一点M(t),给出一向量,在M(t)点切于曲面.即是沿 (C)与S相切的变矢，或称是沿(C)的向量场。 2 在曲面上的绝对微分(c)SM不妨设的始点就在M(t),则当M沿(C)移动到其邻近点 时,其相应的也改变,其改变量的主要部分等于微分,即在M点 与S相切,在点, 与S相切。在M点作,一般的， 不在M点的切平面上,把它分解为在M点的切平面上的和沿M点的法向量上的两个支量,如图。因为在M处切于曲面，所以，所以沿法线方向的支量是。从减去它在法线方向的支量,得到切线支量,记为,即=这是从到点M处的切平面上的投影矢量。定义 我们把M处的向量与向量的差称为向量 从点M沿曲线(C)移动到点的绝对微分,记为,即 。可见,向量从点M沿曲线(C)移动到点时，它的绝对微分等于把它的通常微分投影到点M处的切平面上的部分.因此在点M处向量的绝对微分仍然是一个在点M处切于曲面的向量。3 向量的平行移动当时,表示向量从点M沿(C)的方向移动到时，微分沿法线的方向。换句话说,把向量投影到点M的切平面上时,我们得到向量。这时我们称向量是向量从点M沿 (C)的方向到邻近点是经过平行移动而得到的向量。或称是S上沿(C)的一族平行(或平移)向量。因为这样定义的平行移动概念与所选取的曲线有关,因此 与称为沿曲线(C)在勒维-其维塔(Levi-Civita)意义下的平行向量，这种在曲面上的平移称为勒维-其维塔平移。说明 (1)在平面上，由于,所以平面上的向量若是勒维-其维塔意义下的平行向量，则有,从而,这正是平面上的向量通常意义下的平行移动的充要条件。因此，曲面上矢量勒维-其维塔意义下的平行移动是平面矢量的（通常意义下）平行移动概念的推广。 (2)曲面与沿(C)相切,则是上沿(C)的平行向量场 是上沿(C) 的平行向量场 。4 绝对微分表达式 是平行向量场的条件设曲面上的曲线(C)：, 是沿(C)的向量场,对(C)上任一点P,在P点有一确定的向量,设是S在P点处切平面上的两个基向量，可设，则利用高斯方程，则有 。这里没有写出的各项包含向量且组成向量的法线支量。去掉的法线支量后所得到的就是,即 设，与上式比较得：这就是绝对微分的表达式。 是平行向量场。于是由上式得是平行向量场的充要条件是： 注：由(1)可知，绝对微分的概念只涉及到曲面的第一基本形式，因此绝对微分概念属于曲面的内在性质。二 平行移动的性质1 向量沿曲面上曲线平行移动的可实现性设在曲面上一条已知曲线(C): 的起点处作出曲面的某一向量,如果在曲线(C)的某一点t处作出曲面上的向量,使得当点由t移动到t+dt时，向量是向量由平行移动而得到的向量，且在起点t=0的向量合于，我们说，向量沿曲线(C)的平行移动是实现了。这时，的坐标应满足平行移动的条件(2)，(2)的每式以dt除之，得：由此可见，关于t的导数是本身的线性函数。因为的系数是t的已知函数，此外当t=0时，所求的函数 必取初值，即的坐标。因此由微分方程组解的理论知，微分方程组(3)的解是唯一存在的。因此当给定曲面(曲线)上一个向量后，该向量沿曲线的平行移动总可以唯一地实现。2 保长、保角性 定理 设是曲面上沿曲线(C)的两个平行向量场，则 =常数，从而向量沿(C)平行移动时长度不变，两向量的夹角不变。 证明 =，所以=常数。时，有常数，所以常数，从而常数, 常数。 3 测地线的又一特征性质 假设曲面曲线(C)的方程为：,其中s为(C)的弧长。曲线(C)的(单位)切向量场为，据(3)，是平行向量场的充要条件是：(注这时)： i,j,k=1,2 这恰是(C)为测地线的微分方程。 定理 曲面上的曲线(C)：为测地线的充要条件是它的切向量在勒维-其维塔平行移动的意义下沿(C)是互相平行的。 据测地线的这条性质和前述定理，如果要沿测地线平行移动一个长度一定的向量，只要把这个向量与已知测地线（的切向）在移动过程中保持交于一个定角就可以得到。显然平面上的直线也有这个相仿的性质。4 向量沿曲面曲线平行的几何解释 设曲面与沿(C)相切,于是与在(C)上各点有共同的切平面和法向量,由勒维-其维塔平移的定义, 上沿(C)的平行向量场也是 上沿 (C)的平行向量场。 对曲面S,沿其上一曲线(C)作出曲面的切平面,这些切平面构成单参数平面族,设它们的包络为，则与S沿(C)相切,且是可展曲面。因此S上沿(C)的平行向量场也是上沿(C)的平行向量场。当把可展曲面展为平面时,(C)展为平面上的曲线(C0),平行向量场 变为平面上沿的向量场。因为勒维-其维塔平移是曲面的内在性质,只与第一基本形式有关,而可展曲面与平面等距对应,所以也是平面上沿(C0)的平行向量场。而在平面上勒维-其维塔平行移动与通常的平移是一致的。由此可得向量沿曲面曲线平行的几何解释： 若在曲面S的曲线(C)上一点M给定一个曲面上的向量，设与S沿(C)相切的可展曲面为，将展为平面,(C)展为平面上的曲