(考试资料下载)微分几何教案曲面论（十六）

微分几何教案（二十三） 6.3曲面上的半测地坐标网 6.4 曲面上测地线的短程性6.3 曲面上的半测地坐标网一 半测地坐标网 定义 曲面上的一个坐标网，如果其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。（这族正交轨线称为测地平行线）。 例 平面上的极坐标系，一族坐标曲线是从原点出发的射线，这是平面上的测地线；另一族坐标曲线是以原点为心的同心圆，它是上述测地线的正交轨线。因此半测地坐标网是平面上极坐标系在曲面上的推广。 球面上的坐标曲线也构成半测地坐标网。二 半测地坐标网的存在性 命题4 给出曲面上一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的这条曲线。 证明 根据定理1,过曲面上给定的曲线(C)的每一点,沿着(C)在曲面的切平面上对于垂直于(C)切线的方向,存在唯一一条测地线,于是得到与(C)正交的测地曲线族.然后再作这一族测地线的正交轨线,它必包含了给定的曲线.三 曲面在半测地坐标网下的第一基本形式结论 在曲面上取半测地坐标网时,曲面的第一基本形式为 证明 首先,半测地坐标网是正交网,所以F=0,这时,设u-线为测地线,由刘维尔公式和= 0以及知，所以，于是可设。因第一基本形式是正定的,所以。在曲面上引进新参数，使，则曲面的第一基本形式变为，其中是将代入后得到的。 , 说明 (1)参数的几何意义是:在测地线(v=常数)上,两条正交轨线和 之间测地线的长度=。这是因为v =常数时 ，所以 ,它与v=常数这个“常数”的取值无关,即在任一测地线上截取等长的曲线段.故正交轨线也叫测地平行线(即短程平行线).于是有:定理 一族测地线被任意两条正交轨线截出等长的线段。(2) 以后在半测地坐标网下, 曲面的第一基本形式就可以写为, 其中u-线为测地线,在u-线上, 和 两条正交轨线间的弧长是。(3) 由6.2中的例知，时，曲纹坐标网是半测地坐标网，且u-线是测地线。于是有结论：结论 曲面的坐标网是正交网且u-线是测地线的充分必要条件为曲面的第一基本形式是 。 (4) 设确定半测地坐标网的曲线(C)的参数表示为, 在曲面上引进新的参数使得，这时曲面的第一基本形式可以写为 。其中。 参数的几何意义:曲线(c)上介于两条测地线和之间的弧长。因为在曲线(c)上, 所以,并且与 = 0 + 比较可知 。(5) 如果进一步选(c)是一条测地线,由测地线的方程: 知 , 从而知 。 (6) 小结：由(1)(2)(4)知:取曲面上一条测地线(c)为v-线: ,再取与(c)正交的测地线族为u-线，另取这族测地线的正交轨线为v-线，则得一半测地坐标网。对这个坐标网而言，曲面的第一基本形式可以简化为：，其中满足条件， 这时，参数u,v的几何意义是：在测地线 (即u-曲线或v=常数)上，介于两条v-曲线和 之间的弧长为；在测地线 (c)( )上介于两条u-线和之间的弧长为。 6.4 曲面上测地线的短程性利用曲面上的半测地坐标网可以证明测地线的短程性.即在小的范围内连接任意两点的任意曲面曲线中以测地线为最短.所以测地线又叫短程线。 定理2 在一片充分小的曲面上，一条测地线是它自己上面任意两点的最短连线。证明 设(C)是曲面上的一条测地线，在曲面上选取半测地坐标网，使曲面上包含(C)在内的一测地线族为u-曲线，他们的正交轨线为v-曲线，据上面的结果，曲面的第一基本形式为，曲线(C)的方程为v=常数。设P,Q为 (C)上任意两点，分别对应，。不妨设，则沿测地线(C)，由P到Q的弧长为。 设在充分小的邻域内连接P和Q的任意曲线为，其方程：v=v(u),于是沿,由P到Q的弧长为： 而且当时上式等号成立。但时v=常数，表明这时是测地线，与(C)重合。这就证明了(C)是其上两点P、Q间的最短连线。 说明 (1)平面上两点之间以直线为最短，而曲面上两点间以测地线为最短(如球面上两点间以大圆弧为最短)，从这个角度又看到，曲面上的测地线是平面上直线的推广。 (2) 区域不充分小时结论不一定成立.如在球面上两点如果不是同一直径的端点,则连接它们有两个大圆弧,其中短的是最短连线,长的不是。最后我们用一个例题来简单说明一下测地线的物理意义。 例 倘若一质点可以自由地在曲面上运动，如无外力作用，则质点在曲面上的运动轨迹是一条测地线。证明 设质点在曲面上的运动轨迹的方程是,其中t是时间。因此质点运动的加速度是 ,其中s表示运动轨迹曲线的弧长，k是曲率。另一方面，这时作用于