高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案1无答案新人教A版.docx

2.1平面向量的实际背景及基本概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示思考20的模是多少？0有方向吗？答案0的模为0，方向任意思考3单位向量的模是多少？答案单位向量的模为1个单位梳理(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以A为起点、B为终点的有向线段记作.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，)(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量知识点三相等向量与共线向量思考1已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？答案因为向量和向量方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合思考3若ab，bc，那么一定有ac吗？答案不一定因为当b0时，a，c可以是任意向量梳理(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆1向量就是有向线段()提示向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段2如果|，那么.()提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小3若a，b都是单位向量，则ab.()提示a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同4若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同()提示若ab，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同5零向量的大小为0，没有方向()提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的类型一向量的概念例1下列说法正确的是()A向量与向量的长度相等B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C零向量都是相等的D若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等考点向量的概念题点向量的性质答案A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题跟踪训练1下列说法中正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小考点向量的概念题点向量的性质答案D解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确类型二相等向量与共线向量例2(1)下列说法正确的是_(填序号)若ab，则a一定不与b共线；若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若向量a与任一向量b平行，则a0；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案解析两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确；，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，故，正确；零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确；ab，则|a|b|且a与b方向相同；bc，则|b|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故ac，正确；若b0，由于a的方向与c的方向都是任意的，ac可能不成立，故不正确(2)如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点写出与共线的向量；写出与的模相等的向量；写出与相等的向量考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，EFBC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.与模相等的向量有，.与相等的向量有与.反思与感悟相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心(1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个(2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，共4个(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个类型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点(1)作出向量，；(2)求|.考点向量的表示方法题点向量的几何表示解(1)向量，如图所示(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，|，在四边形ABCD中，ABCD且ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？考点向量的表示方法题点向量的几何表示解(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).1在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A单位圆B一段弧C线段D直线考点向量的表示方法题点向量的几何表示答案A2下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A0B1C2D3考点向量的概念题点向量的性质答案B解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对3设b是a的相反向量，则下列说法中一定错误的是_(填序号)ab；a与b的长度相等；a是b的相反向量；a与b一定相等考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案4如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有_(填序号)；与共线；.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案解析与方向相同，长度相等，正确；A，O，C三点在一条直线上，正确；ABDC，与共线，正确；与方向不同，二者不相等，错误1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、选择题1(2017北师大附中一模)给出下列物理量：质量；速度；位移；力；路程；功；加速度其中是向量的有()A4个B5个C6个D7个考点向量的概念题点向量的判定答案A解析速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向2下列说法正确的是()A向量与是相等向量B共线的单位向量是相等向量C零向量与任一向量共线D两平行向量所在直线平行考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案C解析向量与是相反向量，不是相等向量，故A错；共线的单位向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故B错；零向量与任一向量共线，故C正确；两平行向量所在直线可能平行，也可能重合，故D错3设O是ABC的外心，则，是()A相等向量B模相等的向量C平行向量D起点相同的向量考点向量的表示方法题点向量的模答案B解析因为O是ABC的外心，所以|，故选B.4在ABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案B解析如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DEBC.所以与共线5.如图，在菱形ABCD中，BAD120，则以下说法错误的是()A与相等的向量只有1个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线考点向量的表示方法题点向量的模答案D解析由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，因此选项A，B正确而RtAOD中，ADO30，|，故|，因此选项C正确由于，因此与是共线的，故选D.6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是()A|B.与共线C.与共线D.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案C二、填空题7若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是_考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用答案西北方向5km8已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_.考点向量的表示方法题点向量的模答案2解析由题意知ACBD，且ABD30，在RtABO中，|cos302，|2|2.9在四边形ABCD中，若且|，则四边形的形状为_考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的应用答案菱形解析，ABDC，ABDC，四边形ABCD是平行四边形，|，四边形ABCD是菱形10某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100m，则此人位移的方向是_考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用答案南偏东30解析如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tanBAC，BAC是三角形的内角，BAC60，即位移的方向是南偏东30.11.如图，若四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与共线的向量有_；(2)图中与相等的向量有_；(3)图中与的模相等的向量有_；(4)图中与相等的向量有_考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案(1)，(2)，(3)，(4)三、解答题12.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用解(1)向量，如图所示(2)由题意知，ADBC，ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，长度为6千米”13.如图所示，在四边形ABCD中，N，M分别是AD，BC上的点，且，求证：.考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质和判定证明，ABDC且ABDC，四边形ABCD是平行四边形，又，CNMA，CNMA，四边形CNAM是平行四边形，CMNA，CMNA.CBDA，CMNA，MBDN.又DNMB，与的模相等且方向相同，.四、探究与拓展14给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能