2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)试题及点评

【本文作者】 姓 名：王成震 工作单位：山东省聊城市第一中学 2009年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第卷两部分，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：柱体的体积公式：，其中S是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积公式：，其中S是锥体的底面积，是锥体的高.如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）集合.若则的值为（A）0（B）1（C）2（D）4（2）复数等于（A）（B）（C）（D）（3）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（A）（B）（C）（D）（4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（5）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数的图象大致为（7）设P是所在平面内的一点，则（A）（B）（C）（D）（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A）90（B）75（C）60（D）45（9）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A）（B）5（C）（D）（10）定义在R上的函数满足，则的值为（A）-1（B）0（C）1（D）2（11）在区间-1，1上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（A）（B）（C）（D）（12）设，满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（A）（B）（C）（D）4第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （13）不等式的解集为 （14）若函数有两个零 点，则实数的取值范围是 （15）执行右边的程序框图，输出的T= （16）已知定义在R上的奇函数满足， 且在区间0，2上是增函数，若方程 在区间-8，8上有四个不同的根， 则+= 三、解答题：本大题共6小题，共74分 （17）（本小题满分12分） 设函数 （）求函数的最大值和最小正周期； （）设A，B，C为ABC的三个内角，若，且C为锐角， 求 （18）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4， BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD， AA1，AB的中点 （）证明：直线EE1平面FCC1； （）求二面角BFCC的余弦值 （19）（本小题满分12分） 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定没人最多投3次；在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2该同学选择先在A处投以球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345P0.03p1p2p3p4 （）求的值； （）求随机变量的数学期望E； （）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小（20）（本小题满分12分） 等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的，点（n，）均在函数，b，r均为常数）的图象上.（）求r的值；（）当b=2时，记）.证明：对任意的，不等式成立.（21）（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和. 记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y. 统计调查表明： 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k. 当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（）将表示成的函数;（）讨论（）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在,求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.（22）（本小题满分14分）设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.（）求椭圆E的方程； （）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由2009年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）答案及解读一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,若,则的值为( )A.0 B.1 C.2 D.4【解析】:,故选D.【解读与点评】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数等于（ ）. A B. C. D. 2. 【解析】: ,故选C.【解读与点评】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.3.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. B. C. D. 3. 【解析】:将函数y=的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 【解读与点评】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为. 答案:C【解读与点评】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积. 9. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .【解读与点评】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 函数的图像大致为( ). 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【解读与点评】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.A B C P 第8题图 8.设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.【解读与点评】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答.（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A）90 （B）75 （C）60 （D）45【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.75=90.故选A.【解读与点评】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.9.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D) 【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组消去y,得有唯一解,所以=,所以故选D.【解读与点评】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10. 定义在R上的函数满足，则的值为（A）-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【解读与点评】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.11. 在区间-1，1上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（A）（B）（C）（D）【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时, , ，或，区间-1，1长度为1, 而的值区间长度为,所以概率为.故选在D【解读与点评】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得. x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 12. 设，满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（A）（B）（C）（D）【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.【解读与点评】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效） (13)不等式 的解集为 . 【解析】法一原不等式等价于不等式组或或不等式组无解,由得,由得,综上得,所以原不等式的解集为.法二由可得，即所以答案: 【解读与点评】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.14. (14)若函数有两个零点,则实数的取值范围是 .开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是答案: 【解读与点评】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.15.执行右边的程序框图，输出的T= .【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出T=30答案:30【解读与点评】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,注意每个变量的运行结果和执行情况.16.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数.若方程在区间-8，8上有四个不同的根，【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【解读与点评】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 三、解答题：本大题共6分，共74分.（17）（本小题满分12分） 设函数（）求函数的最大值和最小正周期；-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) （）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求.解: （1）17（本小题满分12分）解：所以 当即时，取得最大值，的最小正周期故函数的最大值为最小正周期为E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （）由即解得又C为锐角，所以E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 由因此【解读与点评】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. （18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD,AB=4,BC=CD=2,AB的中点. （）证明：直线平面；（）求二面角的弦值.解法一：（18）（本小题满分12分） （）证法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1,由于FF1BB1CC1,所以F1平面FCC1,因为平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D,F1C,/由于A1F1=D1C1=CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D,得 EE1F1C,而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.证法二：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，/所以CD=AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1,FCCC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1,所以EE1平面FCC1. （）解法一：取FC的中点H，由于FC=BC=FB，所以又所以又所以过H作于G，连结BG.由于所以因此所以为所求二面角的平面角.在又，且为等腰直角三角形，所以因此即所求二面角的余弦值为解法二：过D作交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则所以由所以又平面ABCD， 所以为平面FCC1的一个法向量设平面BFC1的一个法向量为则由得即取因此所以故所求二面角的余弦值为【解读与点评】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. (19)(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效） 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次.某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 求的值；求随机变量的数学期量；试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解: 解：（I）由题设知，“”对应的事件为在“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知解得 （）根据题意因此 （III）用C表示事件“选同学选择第一次在A处投，以后都有B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则故即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.【解读与点评】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.20（本小题满分12分） 等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的，点（n，）均在函数，b，r均为常数）的图象上.（）求r的值；（）当b=2时，记）.证明：对任意的，不等式成立.解: （I）解：由题意，当时，所以由于 所以n2时，是以b为公比的等比数列，又即解得. （）证法一：由（I）知因此所证不等式为 （1）当时，左式，右式左式右式，所以结论成立. （2）假设时结论成立，即则当时要证当时结论成立，只需证，即证由均值不等式成立故成立，所以，当时，结论成立.由（1）（2）可知，时，不等式成立.证法二：由（I）知：，因此所证不等式为事实上，故对一切，不等式成立.证法三：下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以，当时，结论成立.由（1）（2）可知，时，不等式成立.【解读与点评】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离xKm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065（）将Y表示成X的函数；（）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由.解：（I）根据题意且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为因此，总影响度为又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为所以解得所以 （）法一：因为由解得（舍去）易知的变化情况如下表：0极小值由表可知，函数内单调递减，在内单调递增，此时，法二：，当且仅当，即，此时，又，因此.故在上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小该点与城A的距离km.【解读与点评】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.（22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效） 设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.（）求椭圆E的方程； （）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由解：（）将的坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为 （）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为，将其代入椭圆E的方程并整理得由韦达定理得因为 ，所以 将代入并整理得联立得因为直线AB和圆相切，因此由得所以 存在圆满足题意.当切线AB的斜率不存在时，易得由椭圆方程得显然，综上所述，存在圆满足题意.解法一：当切线AB的斜率存在时，由得令，则，因此所以即.当切线AB的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且.解法二：过原点O作，垂足为D，则D为切点，设，且为锐角，且，所以因为所以令，易证：当时，单调递减当时，单调递增.所以.（2）解法三：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【解读与点评】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.试卷综合解读与评析山东09数学考卷以新的课程标准、考试大纲和2009年山东省考试说明为依据，充分考虑全省各地使用不同版本教材的实际，试题紧密贴近中学教学实际，并结合中学数学在知识、思想方法和能力等方面的要求，充分贯彻新课程的理念.这些试题立意朴实但又不失新意，选材寓于教材而又高于教材.科学地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜能，着重考查了考生对数学本质的理解，宽角度、多视点、有层次地考查数学理性思维，特别是通过解题过程对思维能力进行了深入的考查；试卷结构稳定，知识覆盖面广，重点突出，稳中有新，稳中有变.尤其是对课程中新增内容和传统内容有机结合，考查也更加科学、规范和深化.试卷难、中、易比例恰当，有利于高校选拔优秀学生. 有利于中学数学教学改革，对中学教学发挥了良好的导向作用达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标. 一、试卷结构保持稳定今年的数学试题与07、08年的试题相比在题量上、题型分布上仍保持不变，各种题型个数没有发生变化，选择题仍为12道，分值60分；填空题仍为4道，分值为16分；解答题仍为6道，分值为74分.且解答题仍保持了去年考查的模式，其中17题考查三角函数，18题考查空间中直线与平面平行与垂直的位置关系及求角.19题概率20数列的基本问题，21函数的应用，及用导数、基本不等式求最值.21题是直线与圆锥曲线的位置关系.二、充分体现新课程标准的基本理念，发挥高考试题的导向作用. 09年山东省数学试题围绕着新课程标准中的内容主线、改革理念进行命题.试题兼顾不同版本的教材，关注必修和选修的比例，有利于推进课程改革和素质教育的深入实施.例如理科卷的第（4）（8）（12）（15）（16）题,对三视图、算法框图、等新增内容进行了充分的考查，特别是以环境保护为立意21题，使试题更具有鲜明的时代特色.三、全面、综合地考查基础知识 09年的山东高考数学卷全面考查了09年山东省考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、空间几何体的结构、数学归纳法、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查在全面考查的前提下，重点考查了高中数学知识的主干内容，如函数、三角函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线等仍是支撑整份试卷的主体内容尤其是在每份试卷的6个解答题中，每题所涉及的具体内容都是高中数学的重点内容，层次恰当，试题淡化特殊的技巧，大多数试题既有常规解法，同时在知识的应用上又有一定的灵活性.一些试题在考查的题型、情景设置、设问方式等方面也体现了稳中有变的设计思路. 1、考查重点立足基础. 试题特别注重考查高中数学的基础知识，但并不刻意追求知识的覆盖率，以重点知识为主线组织全卷的内容，首先设定考查重点和要求层次，以此为基调，展开考查的网络，拓展考查的空间，对重点知识的考查力求深入和综合.代数重点考查了函数的基本概念、性质和图象等，如理科第(3)、(6)、(10)、（14）、(16)题；解析几何重点考查了直线和二次曲线的位置关系，如理科第(9)、(22)题；立体几何仍以多面体的有关线面关系和角为考查重点.如理科第(4)、(18)题. 试卷还考查到了向量、概率统计、导数、线性规划、算法框图等新增内容. 2、教材丰富的内涵仍然是2009年山东高考数学试题的源泉. 比如，理科第(5)、（8）、(14)题，直接考查数学概念和有关定理. 试题改造了外在的设问形式，并未改变原来的思想意图，减少了运算量，着重考查思维能力，体现了试卷的整体设计思想. 3、综合性试题以知识网络的交汇点作为设计的起点和着力点，力图实现全面考查数学基础和数学素质的目标. 如理科(16)题函数的填空题，以抽象函数为载体直接给出了函数的有关性质，体现教材改革的一种理念.该题解法中应用到了函数与方程思想，转化与化归思想，分类讨论思想，这些思想都是考试大纲要求较高的思想方法. 该题达到了知识内容考查与思想方法考查相结合的目的. 第(22)题解析几何的解答题，综合、全面地考查了直线与椭圆的位置关系，通过用代数的方法，处理几何问题的深入考查，使函数、方程和不等式与解析几何的内容有机结合.该题具备了较强的综合性，有效地考查了考生综合运用知识、分析问题和解决问题的能力以及理性思维的能力. 四、试题难度适中，层次分明 09年年山东高考试卷与去年相比难度适中，充分体现考察基础的特点，层次分明，适合山东省考生的实际情况，在控制难度上有以下特点. 1、层次分明 试卷在三种题型中体现出明显的层次性，选择题、填空题、解答题，层层递进. 例如理科试卷的选择题（1）（11）题，着重考查了基础知识、基本技能. （12）题考查了学生的理性思维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题的（16）是函数、方程问题，覆盖面大，要求较高. 解答题基本上是一题多问，入口容易. 第（22）题是把关题，对思维能力，尤其是理性思维有较高要求. 2、试卷的入口题和每种题型入口题较好把握了难度 理科试卷的前5个小题着重考查基础知识、基本运算和识别能力.作为整份试卷入口题的选择填空前5个小题较容易，这对稳定考生的心态也有较好的作用.不仅如此，填空题的前2个小题，解答题中的前2个小题也相对容易. 3、较难的解答题采用分步设问、分步给分的设计方法 试卷中的解答题，采用分步设问的办法使其逐步深入，在化解试题难度的同时，又合理区分了不同层次的考生减少了答题用时，增加了思考深度除（20）题外都设计了两问，共设计了13个问题. 在引导学生正确思维的同时，也给每一个层面的学生提供了施展才华的平台. 4、 控制新题型的比例 无论是设问方式新颖的试题、情境设置新颖的试题，还是应用型试题，对考生来说都要比常规试题难，这类题的多少与难易会直接影响整份试卷的难度在文、理两份试卷中，新题型和应用题所占比例适中如概率、统计、直方图等有实际背景的问题也采用了最常见的背景，叙述也采用课本上的方式，较好的体现公平、公正的原则. 5、控制较难题的比例 为了充分体现试卷的选拔功能，设置适量的较难试题是必要的，关键是如何把握其数量和难度2009年的山东试卷处理得比较适度，较难试题基本集中在每种题型的最后两题，而选择题、填空题中较少出现过难的试题. 解答题的第（22）题是整份试卷的难题，但是设计了第（）问后，使入口较易且分值得到了分散. 全卷较难试题分散在选择题、填空题的最后一题. 这种多题把关的处理方法，既很好保证了试卷的总体难度不会过难，又正常发挥了考试的选拔功能. 五、突出理性思维和思想方法的考查，倡导通性通法，有效区分不同思维层次的考生 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心在2009年山东省试卷中能体现出突出重点，重在通性通法，淡化特殊技巧的特点 1、数形结合的思想方法是试卷考查的一大重点第(16)题考查数形结合的思想. 2、方程的思想是试卷重点考查的对象，例如解析几何题中的曲线方程及韦达定理的应用都是方程思想最佳体现. 3、分类讨论的思想在高考中常考不衰如第(20)题，针对数列前项和与之间的关系就是一个典型的分类讨论问题.参数的取值对函数单调区间及对函数的极值产生影响的讨论；第(22)题，需对圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论；在第19题中对投篮得分进行的讨论.4、数学解题过程是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，是思维活动. 考生解题的切入点不同，运用的思想方法不同，体现出不同的思维水平.09年的山东试题很好地注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的思想方法，创设多条解题路径，使不同思维层次的考生都有表现的机会，从而有效地区分出考生不同的数学能力. 例如科（20）、(21)题，证明不等式及求函数的最值均有很多不同的方法. 总之，今年理科试卷，实现了较理想的难度、信度、区分度，是一份既利于高校选拔人才，又利于高中数学教学的好试卷. 从今年的高考试卷来看，对2010年备考的几点启示通过对2009年考纲、考试说明以及近几年山东数学高考试题的分析与研究，不难得出山东数学高考试题有如下特点：试卷结构保持稳定，试题平稳，但也有创新试题，有一定的思维量和计算量，重基础，注重通性通法，全面综合地考查基础知识深化能力立意，在知识的交汇点处命制试题，突出对主干知识的考查，强化数学思想方法.我认为应该从以下几个方面备考. 1、回归课本，抓好基础落实系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题，这是高考复习必须做好的第一步,高考题“源于课本,高于课本”，这是一条不变的真理，所以复习时万万不能远离课本，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展.2、注重规范，力求颗粒归仓网上阅卷对考生的答题规范提出更高要求，填空题要求：数值准确、形式规范、表达式(数)最简；解答题要求：语言精练、字迹工整、完整规范.考生答题时常见问题：如立几论证中的“跳步”，代数论证中的“以图代证”，应用问题缺少必要文字说明，忽视分类讨论，或讨论遗漏或重复等等.这些都是学生的“弱点”，自然也是考试时的“失分点”，平时学习中，我们应该引起足够的重视.3、加强计算，提高运算能力“差之毫厘，缪以千里”，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在考试时有发生，对此平时学习过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念.4、整体把握，培养综合能力对于综合能力的培养，我们坚持整体着眼，局部入手，重点突破，逐步深化原则，如对学生感到很棘手的解析几何，函数、数列、不等式等综合问题，可采取分散难点逐个击破的做法.适度关注创新题.高考数学考查学生的能力，势必设计一定的创新题，以增加试题的区分度，平时学习应注重数学建模、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力的培养.某些压轴题往往要求考生具备多角度、多方向地去探索、去发现、去研究、去创新的能力，对学生的个性品质也提出更高要求.的确压轴题得高分难，但得基础分的机5.树立高考能考好数学的信心 有的学生有可能高一、二考试成绩不理想，对数学学习失去了信心，尤其文科考生.首先应该对自己有信心，绝对不能抱有放弃的想法.有些文科生认为数学差一点没关系，只要最后在其他三门文科上多用功就可以把总分补回来，这种想法是非常错误的.数学薄弱，不仅直接影响高考成绩，还会影响考生心理，导致其他科目发挥不理想.其次，要杜绝负面的自我暗示.在考试暂时不理想的时候，不要有“我肯定没希望了”、“我是学不好了”这样的暗示，相反的，要对自己始终充满自信，最终才能取得成功. 6.重视平时的错题整理和回顾，对基本技能和基本方法的总结，归纳及熟练运用.具体为：知识系统化：要抓住知识的结合点，从中提取归纳重要的数学思想方法；方法常规化：即把握通法通理，在通法通理上反复练；对于技巧性强的方法，应尽力挖掘其推广应用的空间；问题模型化：每一块有哪些重要题型，哪些典型方法要心中有数，这些典型方法怎样应用，不同的情景中又有哪些注意事项；思维多向化：注意逆向思维、等价转化、数形结合等. 7、重视数学思想和方法的提炼函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化思想、分类与整合的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想等，这些都是高中数学的精髓，但这些“思想”有时只能意会，教学中老师往往也只能是“渗透”.只有在“实践”中实现自我领悟，在反思中重构自己的经验，形成自己的行动策略和方式，习得只能意会的知识才能变成可能总之高三一年是整个高中生活中最重要的一年，充分利用好这一年的时间，做到科学、高效备考，相信我们的学生定能创造新的奇迹. 2009年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考公式：柱体的体积公式：，其中S是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积公式：，其中S是锥体的底面积，是锥体的高.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）集合.若则的值为（A）0（B）1（C）2（D）4（2）复数等于（A）（B）（C）（D）（3）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（A）（B）（C）（D）（4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（5）在R上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）（6）函数的图象大致为（7）定义在R上的函数满足，则的值为（A