17【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——函数

第 1 页 共 36 页 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编函数函数 （2010 上海文数）上海文数）22.22.（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分，第分，第 2 2 小小 题满分题满分 5 5 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分。分。 若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m. （1）若 2 1x 比 3 接近 0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明： 22 a bab比 33 ab接近2ab ab； （3）已知函数( )f x的定义域,D x xkkZ xR.任取xD，( )f x等于 1 sin x和1 sin x中接近 0 的那个值.写出函数( )f x的解析式，并指出它的奇偶性、最 小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 22 2a babab ab， 33 2abab ab， 因为 22332 |2|2|()()0a babab ababab abab ab ， 所以 2233 |2| |2|a babab ababab ab，即 a2bab2比 a3b3接近2ab ab； (3) 1sin ,(2,2) ( )1 |sin|, 1sin ,(2,2) xxkk f xx xk xxkk ,kZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T，函数 f(x)的最小值为 0， 函数 f(x)在区间,) 2 kk 单调递增，在区间(, 2 kk 单调递减，kZ （2010 湖南文数）湖南文数）21 （本小题满分 13 分） 已知函数( )(1)ln15 , a f xxaxa x 其中 a0 时，令h (x)=0,解得 x= 2 4a, 所以当 0 0，h(x)在（0， 2 4a）上递增。 所以x 2 4a是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最 小值点。 所以 （a）=h( 2 4a)= 2a-aln 2 4a=2 当 a 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao) （3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 01/2 时， 1（a ）0，为单调递增区 间。 最大值在右端点取到。 max 1 (1) 2 ffa。 （2010 安徽文数）安徽文数）20.（本小题满分 12 分） 设函数 sincos1f xxxx，0 2 x ，求函数 f x的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合 应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】 （1）对函数 sincos1f xxxx求导，对导函数用辅助角公式变形， 利用导数等于 0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单 调性，求极值. , , , ( )12(). 4 23 ( )0() 422 ( ) xx xxxx xx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 00 恒成立，求 a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式 等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. 第 19 页 共 36 页 （）解：当 a=1 时，f（x）= 32 3 xx1 2 ，f（2）=3；f(x)= 2 33xx, f(2) =6.所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9. （）解：f(x)= 2 333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x= 1 a . 以下分两种情况讨论： （1）若 11 0a2 a2 ，则，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表： X 1 0 2 ， 0 1 2 0， f(x)+0- f(x)A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 ，时，（）0等价于 5a1 0,()0, 82 15a ( )0,0. 28 f f 即 解不等式组得-50 等价于 1 f(-) 2 1 f()0, a 0, 即 2 5 8 1 1-0. 2 a a 0, 解不等式组得 2 5 2 a或 2 2 a .因此 20,从而 2x-2 e10,0,F x e 又所以(x)0,从而函数 F（x）在 1,+)是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0 ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )证明：（1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx 12 由（）及f (xf (x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由（）及f (xf (x得与矛盾。 根据（1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由（）可知，) 2 f (x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f (2-x，所以) 2 f (x) 2 f (2-x,从而 第 21 页 共 36 页 ) 1 f (x) 2 f (2-x.因为 2 1x ，所以 2 21x，又由（）可知函数 f(x)在区间（- ，1）内事增函数，所以 1 x 2 2x,即 12 xx2. （20102010 福建文数）福建文数）22 （本小题满分 14 分） 已知函数 f（x）= 32 1 3 xxaxb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2 ()求实数 a,b 的值； ()设 g（x）=f(x)+ 1 m x 是2,上的增函数。 （i）求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封 闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。 第 22 页 共 36 页 （20102010 福建文数）福建文数）21(本小题满分 12 分) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于 港口O北偏西 30且与该港口相距 20 海里的A处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时 与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ ()为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； ()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。 第 23 页 共 36 页 第 24 页 共 36 页 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）(20)(本小题满分 12 分) 已知函数( )(1)ln1f xxxx. （）若 2 ( )1xfxxax，求a的取值范围； （）证明：(1) ( )0xf x . （2010 四川文数）四川文数） （22） （本小题满分 14 分） 第 25 页 共 36 页 设 1 1 x x a f( x) a （0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函数. （）求( )g x； （）当2,6x时，恒有 2 ( )log (1)(7) a t g x xx 成立，求 t 的取值范围； （）当 0a 时，试比较 f(1)+f(2)+f(n)与4n的大小，并说明理由. 1 2 第 26 页 共 36 页 （2010 湖北文数）湖北文数）21.（本小题满分 14 分） 设函数 32 1a xxbxc 32 f（x）=，其中 a0，曲线xyf （）在点 P（0，0f （） 处的切线方程为 y=1 （）确定 b、c 的值 （）设曲线xyf （）在点（ 11 xxf，（）及（ 22 xxf，（）处的切线都过点（0,2） 证明：当 12 xx时， 12 ()()fxfx （）若过点（0,2）可作曲线xyf （）的三条不同切线，求 a 的取值范围。 （2010 湖北文数）湖北文数）19.（本小题满分 12 分） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2） ，其中有部分旧住房需要拆 除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房。 第 27 页 共 36 页 （）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6） （20102010 山东理数）山东理数）(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR. ()当 1 2 a 时，讨论( )f x的单调性； （）设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a 时，若对任意 1 (0,2)x ，存在 2 1,2x ，使 12 ()()f xg x，求实数b取值范围. 第 28 页 共 36 页 （）当 1 4 a 时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 1 (0,2)x ， 有 1 1 f(x )f(1)=- 2 ，又已知存在 2 1,2x ，使 12 ()()f xg x，所以 2 1 () 2 g x， 2 1,2x ， 即存在1,2x，使 2 1 ( )24 2 g xxbx ，即 2 9 2 2 bxx，即 9 2 2bx x 11 17 , 24 ， 所以 11 2 2 b ，解得 11 4 b ，即实数b取值范围是 11 ,) 4 。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研 第 29 页 共 36 页 究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨 论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的 能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出( )f x的最小值、 利用二次函数知识或分离常数法求出( )g x在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。 （2010 湖南理数）湖南理数）20.（本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )( ,),f xxbxc b cR对任意的xR，恒有 ( ) fx( )f x。 （）证明：当0x 时， 2 ( )()f xxc； （）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 22 ( )( )()f cf bM cb恒成立，求 M 的最小值。 解析：解析： 第 30 页 共 36 页 （2010 湖北理数）17 （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= (010), 35 k x x 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和。 （）求 k 的值及 f(x)的表达式。 （）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 第 31 页 共 36 页 （20102010 福建理数）福建理数）20 （本小题满分 14 分） （）已知函数 3 (x)=x -xf，其图象记为曲线C。 （i）求函数(x)f的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数 1 x，曲线 C 与其在点 111 P (x ,f(x )处的切线交于另一点 222 P (x ,f(x )，曲线 C 与其在点 222 P (x ,f(x )处的切线交于另一点 333 P (x ,f(x )，线段 1 122312 2 PP ,P P,S , S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值； （）对于一般的三次函数 32 g(x)=ax +bx +cx+d(a0),请给出类似于（） （ii）的正 确命题，并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算 求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊 与一般思想。 【解析】 （） （i）由 3 (x)=x -xf得 2 (x)=3x -1f= 33 3(x-)(x+) 33 ， 当 3 x(- ,-) 3 和 3 3 （，）时， (x)0 f； 当 3 x(-, 3 3 ) 3 时， (x)0，使得) 1)()( 2 axxxhxf，则 称函数)(xf具有性质)(aP。 (1)设函数)(xf 2 ln(1) 1 b xx x ，其中b为实数。 (i)求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii)求函数)(xf的单调区间。 (2)已知函数)(xg具有性质)2(P。给定 1212 ,(1,),x xxx设m为实数， 21 )1 (xmmx， 21 )1 (mxxm，且1, 1， 若|)()(gg|0， 所以对任意的), 1 ( x都有( )0g x