事故树的定性分析.ppt

1,3-3 事故树的定性分析,2,教学目的与要求： 1. 掌握事故树分析的数学基础;事故树的结构函数、单调关联系统 2. 熟悉事故树的化简 3. 掌握最小割集、最小径集的几种求法,3,一、布尔代数的基本知识,1. 逻辑运算 逻辑运算的对象是命题 逻辑运算的基本运算有三种， 即逻辑加、逻辑乘、逻辑非。,4,a.逻辑加,给定两个命题A、B，对它们进行逻辑运算后构成的新命题为S，若A、B两者有一个成立或同时成立，S就成立；否则S不成立。则这种A、B间的逻辑运算叫做逻辑加，也叫“或”运算。构成的新命题S，叫做A、B的逻辑和。记作AB=S或记作A+B=S。均读作“A+B”。逻辑加相当于集合运算中的“并集”。 根据逻辑加的定义可知： 111；101；011；000。,5,给定两个命题A、B，对它们进行逻辑运算后构成新的命题P。若A、B同时成立，P就成立，否则P不成立。则这种A、B间的逻辑运算，叫做逻辑乘，也叫“与”运算。构成的新命题P叫做A、B的逻辑积。记作AB=P，或记作AB=P，也可记作AB=P，均读作A乘B。逻辑乘相当于集合运算中的“交集”。 根据逻辑乘的定义可知： 111；100：010：000。,b.逻辑乘,6,给定一个命题A，对它进行逻辑运算后，构成新的命题为F，若A成立，F就不成立；若A不成立，F就成立。这种对A所进行的逻辑运算，叫做命题A的逻辑非，构成的新命题F叫做命题A的逻辑非。A的逻辑非记作“ ”，读作“A非”。逻辑非相当于集合运算的求“补集”。 根据逻辑非的定义，可以知道： 0； 1； 1； 0,c.逻辑非,7,2. 逻辑运算的常用法则,定理1： A (对合律) 定理2：ABBA，ABBA (交换律) 定理3：A(BC) (AB)C A(BC) (AB)C (结合律) 定理4：ABC(AB)(AC) A(BC) ABAC (分配律) 定理5：AAA，AAA (等幂律) 推论：AAAA，AAAA,8,定理6：A 1，A 0 定理7：A0A，A1A 定理8：A11，A00 定理9：AABA A(AB)A (吸收律) 在事故树分析中“AABA”，“AAA”和“AAA”几个法则用得较多。,9,二、概率论的基本知识,1. 相互独立事件 一个事件发生与否不受其他事件的发生与否的影响。假定有A1、 A2 、 A3 、 An个事件，其中每一个事件发生与否都不受其他事件发生与否的影响，则称A1、 A2 、 A3 、 An为独立事件。,10,不能同时发生的事件。一个事件发生，其他事件必然不发生。它们之间互相排斥，互不相容。假定有A1、 A2 、 A3 、 An个事件， A1发生时， A2 、 A3 、 An必然不发生； A2发生时， A1、 A3 、 An事件必须不发生，则A1、 A2 、 A3 、 An事件称为互斥事件。,2. 相互排斥事件,11,一个事件发生与否受其他事件的约束，即在其他事件发生的条件下才发生的事件。设A、B两事件，B事件只有在A事件发生的情况下才发生，反之亦然，则A、B事件称为相容事件。 在事故树分析中，遇到的基本事件大多数是独立事件。,3. 相容事件,12,4. n个独立事件的概率和 其计算公式是： P(A1+A2+A3+An)11P(A1)1P(A2)1P(A3)1P(An) 式中：P为独立事件的概率。,13,5. n个独立事件的概率积 其计算公式是： P(A1A2A3 An) P(A1)P(A2) P(A3) P(An),14,三、事故树分析的数学基础 1. 事故树的结构函数 结构函数是描述系统状态的函数，它完全取决于元、部件的状态。通常假定任何时间，元、部件和系统只能取正常或故障两种状态，并且任何时刻系统的状态由元、部件状态唯一决定。 假设系统由n个单元（即元、部件）组成，且下列二值变量xi 对应于各单元的状态为：,结构函数描述系统状态的函数。,15,y=(X) 或 y=(x1, x2, xn),(X) 系统的结构函数,16,与门结构, 与门的结构函数,只有所有基本事件发生时，顶上事件才发生。 根据布尔代数运算法则，它是逻辑“与”（逻辑乘）的关系，其逻辑式为：,这就是与门结构函数。用代数算式表示为：,式中，,中取最小值，即只要有一个最小的“0”（正常），则整个系统为“0”（正常）。,17, 或门的结构函数,或门结构,只要有一个或一个以上基本事件发生时，顶上事件就发生。根据布尔代数运算法则，它是逻辑“或”（逻辑加）的关系，其逻辑式为：,当 仅取0,1二值时，结构函数可写成：,式中，,从,中取最大值，即只要其中有一个最大的“1”（故障），整个系统就为“1”（故障）。,这就是或门结构函数。用代数算式表示为：,18, 复杂系统的结构函数 由与门和或门组成的事故树，根据逻辑乘与逻辑加的关系，可以写出其结构函数。,则其结构函数为：,19,2. 单调关联系统 单调关联系统是指系统中任一组成单元的状态由正常（故障）变为故障（正常）而不会使系统的状态由故障（正常）变为正常（故障）的系统。 也就是说，系统每个元、部件对系统的功能（可靠性）发生影响， 如果系统中所有元、部件发生故障，则系统一定呈故障状态； 反之，所有元、部件正常，系统一定正常。,20,而且，当故障的元、部件经过修复转为正常时系统不会由正常转为故障；反之，正常部件故障不会使系统由故障转为正常。根据以上特点，单调关联系统的结构函数具有下述性质: 不含有多余元、部件。 第i个元、部件正常与否，与系统正常与否无关。这样，第i个元、部件就是逻辑多余元、部件。含有逻辑多余元、部件的系统不是单调关联系统。 组成系统的所有元、部件都正常，系统一定正常；反之，所有元、部件发生故障，系统一定发生故障。,21,系统中正常元、部件发生故障时，系统不可能出现由故障状态转为正常状态。这就体现了结构函数的单调性。 或门结构（串联系统）是单调关联系统不可靠性的上限，而与门结构（并联系统）则是单调关联系统的下限。由与门和或门结构组成的事故树都是单调关联系统。,22,练习1：写出如下事故树的结构函数,23,练习2：写出如下事故树的结构函数,24,四、事故树的化简,1. 事故树化简的必要性 在同一事故中包含有2个或2个以上的相同基本事件时，若不进行化简，则可能产生结果的错误。为说明这一问题，试看例题：,25,且q1=q2=q3=0.1 ，x1、x2、x3相互独立。,例,26,解：不化简时，所求出的T发生的概率为： T=A1A2=x1x2x1+x3 P(x1x2)=P(x1)P(x2)=q1q2 n 又P(A1+A2+An)=1-1-P(Ai) i=1 P(x1+x3)=1-(1-q1)(1-q3) 则P(T)=q1q21-(1-q1)(1-q3) =0.10.11-(1-0.1)(1-0.1) =0.0019,27,化简后，求出的T发生的概率为： T=A1A2=x1x2(x1+x3) =x1x2x1+x1x2x3 =x1x2+x1x2x3 =x1x2 P(T)=P(x1x2)=P(x1)P(x2) =0.10.1=0.01,28,由上面计算，两种算法得到的结果不同， 哪一个结果是正确的？这又是为什么呢？ 这是因为在事故树结构中，存在着多余的事件x3，所谓多余事件，指的是它的发生与顶上事件的发生无关。 由于x3是多余的，所以若在计算时，无事先进行简化，则发生错误。所以P(T)=0.01。故说明化简的必要性。,29,化简后的事故树也可用其“等效图”来表示。,T=x1x2。 它表明，只要x1和x2同时发生，T就发生。所以，计算顶上概率时，应按其等效图计算。,30,2. 事故树化简举例,例、将下列事故树化简,31,解：T=x1+A=x1+(x1x2)=x1,所以，其等效图为：,32,例2 化简事故树,33,等效事故树,34,练习1：化简该事故树，并做出等效图,35,等效事故树,36,练习2：化简该事故树，并做出等效图,37,等效事故树,38,五、最小割集与最小径集 在事故树分析中，最小割集与最小径集的概念起着非常重要的作用。事故树定性分析的主要任务是求出导致系统故障（事故）的全部故障模式。通过对最小割集或最小径集的分析，可以找出系统的薄弱环节，提高系统的安全性和可靠性。,39,1. 割集和最小割集 割集是图论中的一个重要的概念，事故树分析中的割集指的是导致顶上事件发生的基本事件组合，也称作截集或截止集。系统的割集也就是系统的故障模式。,40,如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。换句话说，也就是导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。因此，研究最小割集，实际上是研究系统发生事故的规律和表现形式，发现系统最薄弱环节。由此可见，最小割集表示了系统的危险性。,41,2. 最小割集的求法 最小割集的求法有多种，常用的方法有布尔代数化简法、行列法、结构法、质数代入法和矩阵法等。这是仅就常用的布尔代数化简法和行列法做一简介。 a.布尔代数化简法 事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。下面以图示的事故树为例，利用布尔代数化简法求其最小割集。,42,图1 某事故树示意图,46,58,43,结果得7个交集的并集，这7个交集就是7个最小割集 ,即,44,图2 图1事故树的等效图,45,b. 行列法 行列法又称下行法，这种方法是1972年由：富塞尔(Fussel)提出，所以又称为富塞尔法。 该算法的基本原理是从顶上事件开始，由上往下进行，与门仅增加割集的容量（即割集内包含的基本事件的个数），而不增加割集的数量。或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。,46,每一步按上述的原则：由上而下排列，把与门连接的输入事件横向排列，把或门连接的输入事件纵向排列，这样逐层向下，直到全部逻辑门都置换成基本事件为止。得到的全部事件积之和，即是布尔割集（BICS)，再经布尔代数化简，就可得到若干最小割集。 下面仍以图1所示的事故树为例，求最小割集。,47,顶上事件与下一层的中间事件 是用或门连接的。故T被 代替时，纵向排列。,与下一层事件 之间也是或门连接的，故 被 代替时，仍然是纵向排列。,48,与下一层事件 之间是与门连接的，故被 代替时，要横向排列。而 与下层事件 是或门连接的,故 被 代替时，要纵向排列。,49,50,51,这与第一种算法的结果是一致的。上述两种算法相比，布尔代数化简法较为简单。 但行列法便于用计算机辅助计算最小割集，故国际上仍普遍使用行列法。,52,六、径集和最小径集 径集是割集的对偶。当事故树中某些基本事件的集合都不发生时，顶上事件就不发生，这种基本事件的集合称为径集，也叫路集或通集。所以系统的径集也就代表了系统的正常模式，即系统成功的一种可能性。 最小径集，如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，或者说，使事故树顶上事件不发生的最低限度的基本事件组合，这样的径集就称为最小径集。,53,研究最小径集，实际上是研究保证正常运行需要哪些基本环节正常发挥作用的问题，它表示系统不发生事故的几种可能方案，即表示系统的可靠性。 a. 对偶、对偶系统及对偶树 设系统S有一个结构函数 ，现定义一个新的结构函数 使 式中 ，称 为 为的对偶结构函数，以 为结构函数的系统 称为系统S的对偶系统 。,54,由于有 ，所以 的对偶系统是S。对偶是相互的，故称为相互对偶系统。相互对偶系统有如下基本性质： S的割集是 的径集，反之亦然。 S的最小割集是 的最小径集，反之亦然。,55,利用相互对偶系统的定义，可根据某系统的事故树建造其对偶树。具体做法是，只要把原事故树中的与门改为或门，或门改为与门，其他的如基本事件、顶上事件不变，即可建造对偶树，根据相互对偶系统的基本性质，则事故树的最小割集就是对偶树的最小径集。因此，求事故树最小割集的方法，同样可用于对偶树。,56,b. 成功树 在对偶树的基础上，再把其基本事件 及顶上事件T改成它们的补事件（即各事件发生改为不发生）， 就可得到成功树。 如图3所示 。,57,图3 事故树、成功树的变换示例,例1：以图1为例，画出其成功树，求原树的最小径集。 解：首先画成功树，见图4,58,图4 图1事故树的成功树,59,用布尔代数化简法求成功树的最小割集如下： 由此得到成功树的两个最小割集，根据相互对偶关系，也就是原事故树的两个最小径集，即：,60,例2：图5是某系统的事故树，求其最小割集，画出成功树，求最小径集。 解：用布尔代数化简法求最小割集,图5 某系统的事故树的示意图,61,得到9个最小割集，分别为：,62,画出的成功树见图图6，最后用布尔代数化简法求最小径集。,图6 图5事故树的成功树,63,得到成功树的三个最小割集，根据相互对偶的关系，也就是事故树的三个最小径集，分别为：,如果将成功树最后经布尔代数化简的结果再换为事故树，则：,64,这样，就形成了三个并集的交集。根据最小径（割）集的定义，可做出其等效图如图7所示。,（a）用最小割集表示,图7 图5事故树的等效图,65,（b） 用最小径集表示,66,七、判别割（径）集数目的方法 从上例可看出，同一事故树中最小割集和最小径集数目是不相等的。 如果在事故树中与门多、或门少，则最小割集的数目较少； 反之，若或门多与门少，则最小径集数目较少。 在求最小割（径）集时，为了减少计算工作量，应从割（径）集数目较少的入手。,67,遇到很复杂的系统，往往很难根据逻辑门的数目来判定割（径）集的数目。在求最小割集的行列法中曾指出，与门仅增加割集的容量（即基本事件的个数），而不增加割集的数量，或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。根据这一原理，下面介绍一种用“加乘法”求割（径）集数目的方法。 该法给每个基本事件赋值为1，直接利用“加乘法”求割（径）集数目。但要注意，求割集数目和径集数目，要分别在事故树和成功树上进行。,68,如图8所示，首先根据事故树画出成功树，再给各基本事件赋与