高考数学第8章圆锥曲线的综合问题（第3课时）定点、定值、探索性问题教学案（含解析）.docx

第3课时定点、定值、探索性问题定点问题【例1】(2019开封第一次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立得x24kx80，kAC，则直线AC的方程为yy1(xx1)，即yy1(xx1)xx.x1x28，yxx2，故直线AC恒过定点(0,2)规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点解(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky24y4b0.由根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)定值问题【例2】已知椭圆C：1，过点A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解(1)由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a2，b1.所以椭圆方程为y21，又c.所以椭圆离心率e.(2)证明：设P点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y1(x0)，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y0(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，所以S四边形ABNM|AN|BM|(2)(1)2.即四边形ABNM的面积为定值2.规律方法求定值问题的常用方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得 (2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值探索性问题【例3】如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时213，故存在常数1，使得为定值3.规律方法解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在.(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q