数值计算中的误差.ppt

数值计算中的误差,误差及其来源 误差限和有效数字 相对误差与有效数字的联系 算法的稳定性分析,主要内容,数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。,一、误差分析,1 数值计算方法,2 误差的含义及其理解,误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。,3 算法的数值稳定性,算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。,二、误差的种类及其来源,模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差(凑整误差),过失误差或疏忽误差 非过失误差,1、例子,问题：计算算式 的近似值：,可用下列四个式子进行计算：,分别采用近似值：,和,因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，以及误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念。否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果来。,解方程,来编制计算机程序，在字长为8，基底为10的计算机上进行运算，则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算，这时,01,的第二项中最后两位数“01”，由于受计算机字长的限制，在机器上表示不出来，于是有：,精确解：,求根公式：,对吗？不对，那么需要把算法进行改进！这里利用根与系数的关系：,于是有：,三、 绝对误差和相对误差,（一）、 绝对误差和相对误差限,1、绝对误差,设某一个量的准确值（称之为真值）为 ，其近似值为 ，则 与 的差 称为近似值 的绝对误差，简称误差。当 时，称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近似值。,2、绝对误差限，或精度,此 称为近似值 的绝对误差限，或精度。,由于真值往往是未知或无法知道的，因此 的准确值（真值）也就是无法求出。但一般可估计出此绝对误差 的上限，也即可以求出一个正数 ，使,（二）、相对误差和相对误差限,1、 为什么要讨论相对误差,2 、相对误差,定义：绝对误差与真值之比,4、 绝对误差与相对误差的关系：,3、相对误差限,绝对误差与相对误差比较还有一个差别：量纲之差。,5、 相对误差的其它定义,因为一个量的真值往往是不可能求出的，所以在求相对误差时，常用绝对误差与近似值的比来描述。于是有：,百分误差：,（三）、有效数字及其与误差的关系,1、有效数字,引子：末位的半个单位,有效数字的通俗理解,分析：当近似值 的误差限是其某一位上的半个单位时，就称其“准确”到这一位，且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。,例如 的五、六位有效数字分别为：,数字的规格化形式,一般说，设有一个数 ，其近似值 的规格化形式 式中： 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数字， ；n是正整数；m是整数。,有效数字,则称 为具有n位有效数字的有效数，或称为它精度到 。其中每一位数字 都 是的有效数字。,若 的误差限为,有效数尾部的零的作用 存疑数字： 具有n位有效数字的有效数与真值x精确到第n位的近似值在同一位可能相同或相差可能为1。 有效位数的长短受到计算机字长的限制。,几点注意,203（3），0.0203（3）， 0.0203（3），0.020300（5）,准确值,，近似值,2、有效数字与误差的关系,由上式，可以从有效数字算出近似值得绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也就越小。,绝对误差限,相对误差限,参考：易大义，计算方法，浙江大学,绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？,例1 当用 来表示 的近似值时，它的相对误差是多少？,解： 具有五位有效数字， ，由(7)有,计算题,例2 要使积分 的近似值 的相对误差不超过0.1，问至少取几位有效数字？,解：可以知道， 这样 ，,可得n=3，即 只要取三位有效数字 ，就能保证 的相对误差不大于0.1%。,四、误差的传播与估计,1、误差估计的一般公式,在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的泰勒(Taylor）展开得到的。,以二元函数为例,绝对误差：,分别是 和 对 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差 经过传播后增大或缩小的倍数。,相对误差：,分别是 和 对 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差 经过传播后增大或缩小的倍数。,2、误差在算术运算中的传播,在具体应用时，应注意分析加、减、乘、除、乘方和开方等算术运算对数据误差的传播规律。,1、加、减运算,近似值之和的绝对误差等于各近似值的绝对误差的代数和。,即：,例如，当要求计算 ，结果精确到第五位数字时，至少取到（八位）,才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式（五位）：,3、例题分析,问题：利用 计算代数式 的值， 并分析对计算结果的影响。,计算结果,分析算法对数值计算结果有重要的影响。,由于两个近似数相减，使计算结果的有效数字位数显著减少，以第二种算法尤为严重。而后两种算法中，则有效数字的损失较少。又由于近似值的p次乘方的相对误差是该近似值本身的相对误差的p倍，因此，在后两种算法中以最后一种为最佳。,目的：,分析：,应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生； 应避免两相近数相减（变换）； 绝对值太小的数不宜作为除数； 注意计算过程中误差的传播与积累。,五、防止误差传播的若干方法,介绍了误差理论的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律以及估算方法，以及数值稳定性的概念； 误