测量误差分析与处理.ppt

第二章 测量误差分析与处理,研究误差的意义在于： 1. 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以便减小和消除误差； 2. 正确认识误差和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到最接近于真值的数据； 3. 正确组成测量系统，合理选择仪器和测量方法，以便在最经济条件下得到最理想的结果。,第一节 测量误差的概念,一、 测量误差的来源 （1）测量装置的误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差 二、测量误差的分类 按照测量结果中存在的误差的特点与性质不同， 测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差。,第二节 直接测量误差的分析与处理,一、 随机误差的分析与处理 1. 随机误差的定义和分布特点 （1）定义 在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量，误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可预知，这类误差称为随机误差。 产生原因：由许多未能掌握或不便掌握的微小因素综合作用的结果。,（2）分布的特点 有界性 单峰性 对称性 抵偿性 2. 随机误差的正态分布特征 理论和实践都证明了大多数的随机误差都服从正 态分布的规律，其分布密度函数为：,和确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地反映了随机误差的分布规律。,（1）真值 设x1、x2 、xn 为n次测量所得的值，则算术平均值为 由随机误差的抵偿性可知，有 故 时,均方根误差 均方根误差的定义式为 可以证明，均方根误差的估计值计算公式为：,算术平均值的均方根误差 如果在相同的条件下将同一被测量分成m 组，对每组重 复测量n次，则每组测量值都有一个平均值，则有 在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的估计值，,随机误差的工程计算 只能是在一定的概率意义下估计随机误差数值的范围， 或者求得随机误差出现在给定区间的概率。 对于服从正态分布的测量误差，出现于区间 内的概 率为 考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间 的概率为,令 ，则 ， 函数 称为概率积分，不同的z对应不同 的。 若某随机误差在 范围内出现的概率为2 ， 则随机误差超出此区间的概率为,例2-1 计算z分别等于1、2、3时对应的置信概率P。 解：如图所示，当 z=1时，区间为 -，此时 当 z=2时，区间为 -2，2， 此时,当 z=3时，区间为 -3，3，此时,在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因 此可以认为大于 的误差是不可能出现的，通常 把这个误差称为单次测量的极限误差，即 当z=3时，对应的概率P=99.73%。 几个概念：把区间（ ）称为置信区间，对 应的概率 称为置信概率， 称为置信限，z称为置信因子， 称为显著性 水平或置信水平。,测量结果的表示方法 若以单次测量值表示测量结果X，有 X = 单次测量值置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = 单次测量值3 (P=99.73) 若以算术平均值表示测量结果X，有 X = 算术平均值置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = 3 (P=99.73),在实际测量中的子样容量通常很小（例如 n10），应以t分布的置信系数 代替正态分布 的置信系数z来增大同样置信概率下的置信区间。 T 分布的置信系数 与置信水平和自由度都有关， 考虑了子样容量的大小，其数值可查表得到。当n 趋于无穷大时，t分布趋向于正态分布。 对于小子样，其测量结果最终应表示为,X = = (P=置信概率),例2-2 对某量进行6次测量，测得数据为：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.46，试给出测量结果的最佳表达式（要求测量结果的置信概率为99） 解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置信区间。 （1）求平均值 （2）求 的标准误差估计值,（3）根据给定的置信概率P=99，求得置信水平 =0.01；自由度=6-1=5，查表可得 =4.03。所以，测量结果为,X= =802.440.08 (P=99),在上例中，若以正态分布计算测量结果，对于给定的置信概率P=99，查表可得到 z=2.58 ，则测量结果为,X= z =802.440.05 (P=99),二、系统误差的分析与处理 系统误差的定义与分类 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 大小和符号或者保持不变，或者按一定的规律变化， 这类误差称为系统误差。 前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误 差。在变值系统误差中，又可按误差变化规律的不 同分为累进系统误差、周期性系统误差和按复杂规 律变化的系统误差。,2. 系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的 因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员方面的因素 由于系统误差是和随机误差同时存在于测量数据之中，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。,3. 系统误差的发现方法 （1）实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。 这种方法适用于发现不变的系统误差 （2）残余误差观察法,例 对某恒温箱内温度进行了10次测量，依次获得数据如下： 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10， 20.12，20.14，20.18，20.18，20.21 试判断该测量列中是否存在变值系统误差。 解： 计算各测定值的残差vi ,并按先后顺序排列： -0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09 可见，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中存在累进系统误差。,4. 系统误差的一般处理原则 （1）从产生误差根源上消除误差 可以从以下几方面考虑 所用基准件、标准件（如量块、刻尺等）是否准确 可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检 定，并有有效周期的检定证书； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确 合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论 误差； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、 尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、 注意力不集中等。,（2）用修正方法消除系统误差 这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。 （3）在实际测量时，尽可能采用有效的测量方法，以消除或减弱系统误差对测量结果的影响。 (a) 采用对置法可消除恒值系统误差。,(b) 采用对称观测法可消除累进系统误差。 (c) 采用半周期法，可以很好地消除周期性系统误差。 对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。 例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。,三、粗大误差的分析与处理 粗大误差的定义及产生的原因 粗大误差是指明显歪曲了测量结果而使该次测量失效的 误差，也称为疏失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或 异常值。 产生粗大误差的原因很多，主要有： 主观原因 测量者在测量时粗心大意、操作不当或过于疲劳而造成错误的读数或记录，这是产生粗大误差的主要原因。 客观原因 测量条件意外的改变（如外界振动、机械冲击、电源瞬时大幅度波动等），引起仪表示值的改变。 对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是要加强测量的工作责任心和严格的科学态度。此外，还要保证测量条件的稳定。,2. 判别粗大误差的准则 (1) 3 准则（莱伊特准则） 如果在测量列中，发现有大于3 的残余误差的测得值，即 则可以认为它含有粗大误差，应予以剔除。 实际使用时，标准误差取其估计值，且按莱伊特准则剔除含有粗差的坏值后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据中是否还有含粗大误差的坏值。 注意：该准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近似的准则。在测量次数较少时，最好不要选用该准则。,【例】 对某量进行15次等精度测量，测得值如下表所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。,由表可得 根据 准则，第八测得值的残余误差为： 即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算，得： 由表知，剩下的14个测得值的残余误差均满足 ,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。,2格拉布斯准则 设对某量作多次等精度独立测量，得到一测量列：x1，x2，xn。当 xi 服从正态分布时，计算得到,将xi按大小顺序排列成顺序统计量,计算首、尾测得值的格拉布斯准则数,取定置信水平(一般为0.05或0.01)，根据子样容量n和置信水平，从表中查出相应的格拉布斯准则临界值 。若 ，即判断该测得值含有粗大误差，应予以剔除。 注意当 和 都大于 ，应先剔除大 者，再重新计算 和 ，这时子样容量为（ ），再进行判断，直至余下的测得值中不再发现坏值。,按测得值的大小，顺序排列得 今有两测得值 ， 可怀疑，但由于 故应先怀疑 是否含有粗大误差，计算 查表2-12得 则 故表2-11中第八个测得值 含有粗大误差，应予剔除。 剩下的14个数据，再重复上述步骤，判别 是否含有粗大误差。 解： 故可判别 不包含粗大误差，而各 皆小于1.18，故可认为其余测得值也不含粗大误差。,还用上例测