离散型随机变量分布Ⅱ(1012日讲义待续).ppt

第 6 讲 离散型随机变量分布,6.1 二项分布 6.2 超几何分布 6.3 泊松分布,6.1 二项分布,游戏和二项分布,有趣的游戏：一枚均匀的硬币（正反面出现的概率各为0.5），连续抛50次。请问：出现2次“正面”的概率为多少？出现10次，20次，30次“正面”的概率又为多少呢？,而如果硬币不均匀（正面出现的概率为0.3、反面出现的概率为0.7），连续抛50次。请问：出现2次“正面”的概率为多少？出现10次，20次，30次“正面”的概率又为多少呢？,一 什么是二项分布？, 1、掷硬币游戏中的二项分布,二项分布就是“连续”抛硬币的游戏,游戏开始前，我们已经知道：抛一次正反面出现的概率。抛10次。,求：正面出现3次的概率是多少？5次、10次的概率是多少,0,1/3,P(x),1,X正面次数,2,3,4,5,6,1/6,2、随机变量 X对应的概率能求出来吗？,试验：抛4次硬币, 求“正面”出现1次、2次、3次、4次的概率？,假设抛一次，正面出现的概率为p。反面的概率为1-p = q,1）正面出现1次的情况及概率,p q q q= p1 q 4-1,q p q q= p1 q 4-1,q q p q= p1 q 4-1,q q q p = p1 q 4-1,=C41 p1 q 4-1,随机变量X次数的概率分布,2）正面出现2次的情况，及概率,p p q q= p2 q 4-2,qqp p = p2 q 4-2,qp p q= p2 q 4-2,pq q p = p2 q 4-2,=C42 p2 q 4-2,q p q p = p2 q 4-2,p q p q = p2 q 4-2,3）正面出现3次的情况,概率P(X=3)=C43 p3 q 4-3,4）正面出现4次的情况,概率P(X=4)=C44 p4 q 4-4,5）正面出现0次的情况,概率P(X=0)=C40 p0 q 4-0,抛硬币的概率分布图,0,1/3,P(x),1,X正面次数,2,3,4,1/6,当p=0.5时。,如果硬币不均匀，假设p=0.8时的概率分布图，你能做出来吗？,C41 p1 q 4-1,C42 p2 q 4-2,C43 p3 q 4-3,C44 p4 q 4-4,总结规律：抛4次硬币，随机变量X的分布能用一个统一的代数式表达出来吗？P(X= xi )= ？,C40 p0 q 4-0,推而广之，二项分布的概率分布函数可归结为： 在n次试验中（投掷硬币的次数中），出现“正面”的次数X（随机变量），服从 ： P(X=x)= Cnx px q n-x 的概率分布。这种分布我们习惯称为二项分布（binomial distribution）。即XB (n, p), n,p都是已知参数。,剖析：P(X=2) = C42 p2 q 4-2,3、二项分布的概率分布,投掷的次数,成功的次数,正面的概率,思路：利用二项分布求解：n=50次；p=0.5,4、游戏的答案：二项分布和人类的智慧,解有趣的游戏：一枚均匀的硬币（正反面出现的概率各为0.5），连续抛50次。请问：出现2次“正面”的概率为多少？出现10次，20次，30次“正面”的概率又为多少呢？,1）出现2次的概率： P(X=2) = C502 p2 q 50-2,2）出现10次的概率： P(X=10) = C5010 p10 q 50-10,3）出现30次的概率： P(X=30) = C5030 p30 q 50-30,而如果硬币不均匀（正面出现的概率为0.3、反面出现的概率为0.7），连续抛50次。请问：出现2次“正面”的概率为多少？出现10次，20次，30次“正面”的概率又为多少呢？,1）出现2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-2,2）出现10次的概率： P(X=10) = C5010 0.310 q 50-10,2）出现20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-20,2）出现30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-30,练习并做图： 而如果硬币不均匀（正面出现的概率为0.3、反面出现的概率为0.7），连续抛5次。请问：出现1次“正面”的概率为多少？出现0次，2次，5次“正面”的概率又为多少呢？,1）出现1次的概率： P(X=1) = C51 0.31 q 5-1=0.36,2）出现0次的概率： P(X=0) = C50 0.30 q 5-0=0.168,3）出现2次的概率： P(X=2) = C52 0.32 q 5-2=0.308,4）出现3次的概率： P(X=3) = C53 0.33 q 5-3,5）出现4次的概率： P(X=4) = C54 0.34 q 5-4,6）出现5次的概率： P(X=5) = C55 0.35 q 5-5=0.002,二项分布：做图找规律,0,1/3,P(x),1,X正面次数,2,3,4,5,1/6,随着n的增大,1）当p= 0.5 时，是正态分布。图形对称。,3）二项分布：E(X)=np. D(X)=npq (做图有用),4） 随机变量各取值xi的概率之和恒为1.,2）当n 很大时，即使p0.5 ，图形也会呈正态分布。,【例】已知100件产品中有5件次品。现从中任取1件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率。, 5、二项分布的广泛应用,思路： 1）次品和非次品就意味着硬币的正面和反面。 2）已知条件，次品出现的概率为5%。（p已知） 3）投掷硬币的次数是3次（试验的次数）。（n已知）,则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有,【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中 (1) 没有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1个次品的概率是多少？ (3) 有3个以下次品的概率是多少？,请做出概率分布图来？,题1）：将一枚均匀硬币投掷6次，求： （1）恰好出现两次正面的概率？ （2）至少出现5次正面的概率？ （3）出现正面次数的均值？ （4）出现正面次数的方差？,题2：事件A在一次试验中发生的概率为2/3，则在4次独立重 复试验中，事件A恰好发生2次的概率为： （A）8/27 （B）9/27 （C）6/27 （D）5/27,家庭作业（10月12日）,题3）：口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1球，放回取3次，求所取过的3个球恰好有2个黑球的概率？ 题4）：设离散型随机变量XB(2,p)，若概率P(X1)=9/25,则参数p=? 题5： 设离散型随机变量XB(n,p)，若数学期望E(X)=1.6,方差D(X)=1.28,则参数n,p的值分别为？,二项分布也有英雄气短之时,那么二项分布没用了吗？不！当总体元素N很大，而样本容量n很小时。 即使“不放回”二项分布也成立，影响可忽略。,而如果总体和样本容量都较小，放回和不放回的差异大吗？ 在这种情况下，如何反映现实（不放回）的概率分布？,现实中，所抽取容量为n的样本通常采用“不重复抽样”（不放回抽样）。 而二项分布却是重置抽样（放回）。,为什么总是“有放回”地摸球？,例：口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1球，放回取3次，求所取过的3个球恰好有2个黑球的概率？ （总体中：黑球的比率p=4/5；试验次数n=3）,要保证每次试验的独立性。必须要“放回”。,6.2 超几何分布,小总体条件下B分布的改装版,一、用二项分布处理是错误的？,例：在5件产品中有2件优质品。现从这5件产品中任取3件，试求抽出产品中优质品件数的概率分布。（不放回）,2）出现1次的概率： P(X=1) = C31 0.41 q 3-1=0.432,1）出现0次的概率： P(X=0) = C30 0.40 q 3-0=0.216,3）出现2次的概率： P(X=2) = C32 0.42 q 3-2=0.288,这样做对吗？是错误的！,此题用二项分布解存在的问题？,二项分布广泛适用于大总体。即使不放回影响也可忽略。,二项分布的前提是保证每次试验的独立性。,此题中，明显是不放回抽样，这导致二项分布不独立了。,而此题，是小总体小样本。对概率的影响无法忽略。,小总体小样本中的元素要放回（重复抽样）,从而有独立性。,二、解决小总体问题,前例：在5件产品中有2件优质品。现从这5件产品中任取3件，试求抽出产品中优质品件数的概率分布。（不放回）,分析：用古典概率的“组合”概念来处理。,概率分布图,思考：前面的三个组合公式能否合并为一个代数式,总体中的元素个数N（5）；样本中的元素个数n（3）；“成功”元素的个数M（2）. 一般元素的个数(N-M)=3.,三、超几何分布 (hypergeometric distribution),总体的元素数目N 很小，或抽取的样本容量n相对于N来说较大，二项分布就不在适用。 因为每次试验中“成功”的概率不相等了（违反了独立性原则）。各次试验并不独立，成功的概率也互不相等 对于这种“小样本”不重复抽样，样本中“成功”的次数X,服从 的概率分布。俗称XH(n,N,M) 超几何分布。,前例的概率分布图,超几何分布：M/N = p （二项分布的参数）,超几何分布的期望E(X)= n*（ M/N）,N,超几何分布概率图,0,1/3,P(x),1,X正面次数,2,3,4,5,1/6,随着N/n比例的增大,随着n的增大,0,例：口袋里装有4个黑球与1个白球。分别采用放回和不放回方式抽取3次，求所取过的3个球恰好有2个黑球的概率？ （总体中：黑球的比率p=M/N=4/5；试验次数n=3）,4、超几何（H）分布练习,【例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利(其余亏损）。如果你打算从10支股票中选择4支购买。求： (1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？ (2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？,解：设N=10，M=3，n=4,思路： 1）总体N=10的10只股票有“获利”和“亏损”两种可能。（M已知） 2）总体较小，样本容量较小（n=4），且属于不放回抽样。 3）用H分布来求概率较准确。,第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【 HYPGEOMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3) 在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4) 在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例为3) 在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N(本例为10), 用Excel计算超几何分布的概率,课后作业第10题（p172）,6.3 泊松分布,歪打正着，意想不到的收获,而如果硬币不均匀（正面出现的概率为0.3、反面出现的概率为0.7），连续抛50次。请问：出现2次“正面”的概率为多少？出现10次，20次，30次“正面”的概率又为多少呢？,1）出现2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-2,2）出现10次的概率： P(X=10) = C5010 0.310 q 50-10,3）出现20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-20,4）出现30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-30,一、二项分布计算的困难,1、二项分布的概率公式简单，但概率值计算困难,2）当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时， np= 。可用一个除法公式近似地计算二项分布的概率，即,3）实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好。,2、用一个特殊的代数式来逼近,1）泊松（D. Poisson）1837年发现了这个代数式,记住：n*p=? 它的现实意义就是平均数的意思,技巧：先求 “平均出现次数”（期望值）： 然后，将二项分布公式转换成泊松公式简化概率的计算。,3、公式的运用,1）出现2次的概率： P(X=2) = C502 0.32 q 50-2,2）出现10次的概率： P(X=10) = C5010 0.310 q 50-10,3）出现20次的概率： P(X=20) = C5020 0.320 q 50-20,2）出现30次的概率： P(X=30) = C5030 0.330 q 50-30,二、泊松分布 （Poisson distribution),【例】假定不均匀的硬币连续抛50次，出现正面的次数是15次（均值已知=np）。请问：出现2次“正面”的概率为多少？,这个等式可以描述，在随机变量X均值 已知的条 件下，随机变量出现特定值xi的概率p 。,由于这种分布在现实生活中应用广泛，则将随机变量X 服从参数为的（*）式分布称为 Poisson分布，记为XP ().,1、歪打正着：泊松等式刻画了许多重要的随机分布,【例1】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？,解：设X为 “10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数”,2、泊松分布的实践运用,练