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第九部分 立体几何 第八讲 空间直角坐标系,1通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性 2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置 3通过表示特殊长方体(所有棱与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式,1在空间直角坐标系中，点P(3,2,1)到yOz平面的距离是( ) A. 2 B1 C3 D3,D,解：点P(x，y，z)到坐标平面yOz的距离为|x|3，选D.,2点P(x，y，z)在xOz平面上的射影为P1，则P1的坐标为( ) A(x，y, 0) B(0，y，z) C(x, 0，z) D(0，y, 0),C,解：(x，y，z)在xOz的射影为(x,0，z)，x，z的坐标不变，y的坐标为0，选C.,3点P(3，2,1)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为 . 4ABC中，A(2,0,1)，B(4，2,3)，C(3，1，2)，则AB边上的中线CM的长为 .,(3，2,1),解：因为M为AB的中点，所以M的坐标为， 即M(1，1,2)， 所以|CM|,题型1：空间直角坐标系的建立及点的坐标 例1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA底面ABCD，PDA30，AEBD.试建立适当的坐标系，求出各点的坐标,因为平面PAD平面ABCD，作EFAD于F，则F为E在底面ABCD的射影在RtADE中，因为EDA30， 所以AE ADa. 在RtEFA中，EAF60，所以EFAEsin60a a，AFAEcos60 . 故E .,点评：建立空间坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上点的坐标的概念是求空间中的点的坐标的依据，即点的空间坐标为该点在坐标轴上的射影在这些坐标轴上的坐标,【变式迁移】 1已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标,解：因为正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 所以正四棱的高为2 . 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC、AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2 ),题型2：空间直角坐标系的中点公式及两点间的距离公式 例2 (1)已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，求顶点D的坐标 (2)空间坐标系中，A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，求|AB|的最小值,解：(1)因为平行四边形的对角线互相平分， 所以AC的中点即为BD的中点 又AC的中点O ，,所以x5，y13，z3. 故D(5,13，3) (2)|AB| 即|AB|的最小值为.,点评： 求中点坐标和距离可类比平面直角坐标系中的方法进行求最值时要建立函数模型，利用求函数的值域的方法求解,【变式迁移】 2(1)若点P(x，y，z)关于点A(1,0,3)的对称点为B(2，1,4)，则P关于xOy平面的对称点C的坐标为 ； (2)已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，则A、B两点间的距离取得最小值时，x的值为( ),(0,1，2),C,解：(1)因为点P(x，y，z)和B(2，1,4)的对称中心为A(1,0,3)， 所以 解之得 所以P点坐标为(0,1,2)， 又C与点P(0,1,2)关于xOy平面对称， 所以C的坐标为(0,1，2),题型3：空间直角坐标系的应用 例3 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，建立适当的坐标系，写出A，B，A1，C1的坐标，求出AC1与其在侧面ABB1A1内的射影所成的角,解法1：如图所示，以点A为 坐标原点，以AB所在直线 为y轴，以AA1所在直线为z 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1垂直的直线为x轴， 建立空间直角坐标系 由已知，得A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0， a)， C1 取A1B1的中点M，则M,在RtAMC1中， |C1M| |AM| 所以tanMAC1 所以MAC130. 所以AC1与其侧面ABB1A1上的射影所成的角为30.,连接AM，MC1，则MC1A1B1. 所以AC1在平面ABB1A1上的射影为AM. 所以MAC1为AC1与其在平面ABB1A1上的射影所成的角，,解法2：设AB的中点为D，以C为坐标原点，CD所成直线为x轴，过点C与AB平行的直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系,点评：利用空间直角坐标系可以解决长度、角、距离等问题但要注意角和距离仍需通过图中的线面关系找到所求角或距离，再利用坐标求得相应长度，通过解三角形解决问题,【变式迁移】 3在正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离,解：由于SABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC a， 而侧棱长也为a，所以SOOC，于是RPRC，