随机事件及其概率.ppt

13:41:38,概率论与数理统计,主讲：谭玉顺,13:41:38,第一章 随机事件与随机变量,随机现象 随机试验 随机事件及其概率 条件概率与独立性 随机变量 随机变量分布,13:41:38,在一定条件下，必然发生或必然不发 生的现象，称为确定性现象。,例1 在平面上给一个三角形，则三个内 角之和为180度。,（一）随机现象,1.2 随机事件及其概率,一、随机事件与样本空间,13:41:38,高等数学是研究确定性现象，主要研究函数,注：本课程主要工具是微积分，如极限， 连续，导数，偏导数，级数，定积 分，二重积分等,例2 在一个大气压下，没有加热到100度 不会沸腾。,13:41:38,在一定条件下，可能出现这个结果，也可能出现那样结果，而且不能事先确定出现哪一个结果的现象，称为随机现象。,例3 抛一枚硬币。,例4 从一工厂的某种产品中抽出n件产品，观察次品个数。,随机现象又分为个别随机现象和大量性随机现象。,个别随机现象：原则上不会在不变的条件下重复出现。例如历史事件（辛亥革命）。,13:41:38,大量性随机现象：可以在完全相同的条件下重复出现。例如抛硬币。,概率论只研究大量性随机现象在完全相同的条件下重复出现时所表现出来的规律性。,问题：随机现象难道还有规律性吗？,随机现象所表现出来的规律性称为统计规律。,13:41:38,概率论和数理统计的研究对象：,概率论和数理统计是研究（大量性）随机现象统计规律性的数学学科。,概率论和数理统计的研究方法：,概率论研究方法是提出数学模型，然后研究它们的性质，特点和规律性。,数理统计是以概率论的理论为基础，利用对随机现象的观察所取得的数据资料来提出数学模型，并加以应用。,13:41:38,（二）随机试验,观察一定条件下发生的随机现象称为随机试验。随机试验满足下述条件：,试验可以在相同的条件下重复进行；,2.试验之前能确定所有可能发生的结果，并 且规定每次试验有且仅有一个结果出现；,3.试验之前不能确定将会出现哪一个结果。,例1 抛一枚硬币。 例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品。,13:41:38,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。,随机试验的例子,13:41:38,（三） 样本空间 试验的每一个基本结果称为一个样本点,记为;实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为,即 1, 2 , , n ;. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为.,在概率论中讨论一个随机试验时，首先要求明确它的样本空间。,样本空间可以根据随机试验的内容来决定。 但写法不一定惟一。,13:41:38,鉴于写出样本空间的重要性，举一些例子。,例5 抛一枚硬币观察正反面出现的情况。,正面,Heads,反面,Tails,例6 抛二枚硬币观察它们正反面出现的况。,13:41:38,例7 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。,例8 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,13:41:38,13:41:38,例9 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 与目标的距离。,例10 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。,13:41:38,（四）随机事件,例8 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品，观察次品个数。,=“没有抽到次品”,13:41:38,=“抽到一个次品”,=“抽到两个次品”,注意：它们都是样本空间,的子集（样本,点组成的集合）。,13:41:38,样本空间的子集称为随机事件，简称事件。,常用,表示随机事件。,规定：随机事件A发生当且仅当随机事件A 中有某一个样本点出现 。,记作,这样集合论就和概率论联系起来了。,13:41:38,1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,(五) 随机事件之间的关系与运算,13:41:38,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”， 记作AB,n个事件A1, A2, An至少有 一个发生，记作,13:41:38,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,13:41:38,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.,13:41:38,5.互斥的事件 ：AB ,13:41:38,6. 互逆的事件 AB , 且AB ,13:41:38,运算律,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,13:41:38,例11：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,13:41:38,二、 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,事件A的概率应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,13:41:38,定义 事件A在n次重复试验中出现m次，则比值m/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即,(一) 频率与概率,13:41:38,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,13:41:38,频率的性质: (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值附近，可将此稳定值可以反映事件A发生的可能性大小，作为事件A的概率。记作P(A).,13:41:38,(二）古典概型与概率,一个随机试验的样本空间为,满足以下性质：,（1）样本点总数有限，即,有限；,（2）每个样本点出现的概率相等，即,称满足以上2个性质的模型为古典概型。,13:41:38,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N()记样本空间中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质：,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率:,13:41:38,例12:有三个都是独生子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则三个家庭中至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N()=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,13:41:38,例13 （摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,13:41:38,例14 （分求问题）将3个球一个一个的随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,13:41:38,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,N个人生日各不相同的概率,13:41:38,例15 （分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,13:41:38,例16（抽样检验）如果某批产品中有a件次品和b件正品，我们采用有放回抽样和无放回抽样n次，问刚好有k件次品的概率为多少？,13:41:38,（三）几何概率,基本思想： （）如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可以用表示； （）任意点落入度量相同的子区域内是等可能的.譬如在样本空间中有一单位正方形和直角三角形，而点落入区域和区域是等可能的，因为这两个区域面积相等； （）若事件为中的某个子区域，其度量大小可以用表示，则事件的概率为 （）（=A的测度/ 的测度）,13:41:38,例17 会面问题：甲乙两人约定在周末时到时在某地会面，先到者等候分钟，若对方仍未到达，则离去，求两人能会面的概率。 例18 从，中随机取两个数，求其积不小于其和不大于的概率。,13:41:38,例19 P11 蒲丰投针问题（略）,13:41:38,13:41:38,(四) 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义.,13:41:38,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) 非负性: P(A) 0； (2) 规范性: P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,13:41:38,2一般概率的性质,性质1：,性质2：（有限可加性）设,两两互不相容，则,性质3：,13:41:38,性质4 设,则,推论：设,则,反之不成立。,推广：,性质5：（并定理）,推论：,13:41:38,推广：,13:41:38,例 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,13:41:38,例 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除; 取到的数能被3整除,故,13:41:38,乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,13:41:38,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，