基本初等函数的导数.ppt

教学目标,熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运用 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则 教学难点：商的导数的运用,一、复习目标,了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(nN*)的导数公式、会求多项式函数的导数.,二、重点解析,导数的几何意义是曲线的切线的斜率, 导数的物理意义是某时刻的瞬时速度.,无限逼近的极限思想是建立导数概念, 用导数定义求函数的导数的基本思想.,导数的定义:,利用定义求导数的步骤: (1)求 y;,三、知识要点,f(x0) 或 y | x=x0, 即:,函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0).,2.导数的意义,(1)几何意义:,(2)物理意义:,函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s(t0).,1.导数的概念,3.几种常见函数的导数,(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ);,4.如果 f(x), g(x) 有导数, 那么:,f(x)-g(x)=f(x)-g(x),f(x)+g(x)=f(x)+g(x),cf(x)=cf(x).,典型例题 1,解: (1)y=3x3+6x,y=(3x3)+(6x),求下列函数的导数: (1)y=3x(x2+2); (2)y=(2+x3)2;,(2)y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1); (4)y=(2x2+3)(3x-2).,=9x2+6.,y=4+(4x3)+(x6),=12x2+6x5.,(3)y=2x3-2x2+x-1,y=6x2-4x+1.,(4)y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.,典型例题 2,已知 f(x) 的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a2, 求不等式 f(x)0 的解集.,解: f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.,f(0)=2a,b=2a.,f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a,=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a),=(x-a)(x2-x-2),=(x+1)(x-2)(x-a),令 (x+1)(x-2)(x-a)0, 由于 a2, 则,当 a=2 时, 不等式 f(x)0 的解集为(-, -1);,当 a2 时, 不等式 f(x)0 的解集为(-, -1)(2, a).,典型例题 3,已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标.,点 (x0, y0) 在曲线 C 上, y0=x03-3x02+2x0.,又 y=3x2-6x+2,在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.,整理得 2x02-3x0=0.,注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题.,典型例题 4,它在 P 处的切线斜率 k1=-2,典型例题 5,求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.,解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,设切点为 P(x0, y0), 则,y | x=x0=3x02+6x0,曲线在点 P 处的切线方程为,y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).,又切线过点 M(1, -1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即 y0=3x03+3x02-6x0-1.,而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.,整理得 x03-3x0+2=0.,解得 x0=1 或 x0=2.,切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1).,故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.,课后练习 1,求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-2); (2)y=(x-1)(x3+2x+6).,解: (1)y=x3-2x2+x-2,y=(x3)-(2x2)+(x)-2,(2)y=x4-x3+2x2+4x-6,=3x2-4x+1.,y=(x4)-(x3)+(2x2)+(4x)-6,=4x3-3x2+4x+4.,课后练习 2,一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 2, 2.01 这段时间内质点的平均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度.,解: (1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)v=S,=6t+1.,v | t=2=13.,即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s.,课后练习 3,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.,解: f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.,课后练习 4,如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程.,解: 切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当 x0=1 时, y0=-8;,当 x0=-1 时, y0=-12.,切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10) | x=x0,=3x02+1.,课后练习 5,已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切线方程; (2)证明: S 关于切点对称.,(1)解: 由已知 y=3x2-12x-1,当 x=2 时, y 最小, 最小值为 -13.,S 上斜率最小的切线的斜率为 -13, 切点为 (2, -12).,切线方程为 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)证: 设 (x0, y0)S, (x, y) 是 (x0, y0) 关于 (2, -12) 的对称点,则 x0=4-x, y0=-24-y.,(x0, y0)S,-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6.,整理得 y=x3-6x2-x+6.,(x, y)S.,曲线 S 关于切点 (2, -12) 对称.,课后练习 6,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.,解: f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.,课后练习 7,设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式.,解: 由已知, P 点的坐标为(0, d).,曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0,120-d-4=0.,又切线斜率 k=12,解得: d=-4.,故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12.,而 y=3ax2+2bx+c, y|x=0=c,c=12.,函数在 x=2 处取得极值 0,y|x=2=0 且当 x=2 时, y=0.,解得 a=2, b=-9.,y=2x3-9x2+12x-4.,课后练习 8,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的单调性.,解: (1)f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4