《Matlab程式设计》PPT课件.ppt

Matlab程式設計,Symbolic Math toolbox,基本簡介,1.Symbolic Math與Matlab的不同。 Matlab: 運算為數值運算(numerical calculation) ex:運用quad函數函數計算方程式的積分。 Symbolic Math： 運算為符號運算(symbolic calculation) ex:計算 or微分式,quad(func,a,b,tol)： 以辛普森法積分函數func，積分下限為a，上限為b，誤差設定為tol(預設為 )。,ex：計算 值 quad(sin(x),0,pi) ans = 2.0000,2.建立符號物件：,要運用Symbolic Math運算，必須先建立符號物件。,ex： a=sym(5/3) a = 5/3 a+5/3 ans = 10/3 sqrt(a) ans= 1/3*30(1/2) 若sym函數中的數值為小數，在建立符號後，sym會自動將 其轉換為分數。 ex：s=sym(0.254) ans= 127/500,在一個運算式中，只要有一項是符號物件，則matlab會把整 個運算結果化成符號式。 ex： sym(2)/7+7/12+9/7 ans= 181/84 whos Name Size Bytes Class ans 1x1 136 sym object Grand total is 7 elements using 136 bytes 上例表示，原本僅建立2為符號，結果運算之後的答案亦為 符號。,在符號運算當中，符號與數值的區分很重要，必須 要清清楚楚的瞭解，否則往後的計算會常常出現錯 誤。可用whos指令來確定。 ex：欲建立一個數學式符號f，其中一方法可用下法。 f=sym(a*x2+b*x+c) f= a*x2+b*x+c whos Name Size Bytes Class f 1x1 146 sym object Grand total is 12 elements using 146 bytes 由上可知，只有f為符號，其中的a b c x 皆仍為數值， matlab並不會主動將其變更為符號，與之前的例子結果不 同。,因此，我們通常以下面方式建立一數學式符號f，以便之後 的符號運算不會出任何差錯。 syms a b c x f=sym(a*x2+b*x+c) f= a*x2+b*x+c whos Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object f 1x1 146 sym object x 1x1 126 sym object Grand total is 20 elements using 650 bytes,3.建立符號式陣列,先將符號變數建立好，以此符號變數建立陣列則此陣列即為 符號陣列(symbolic array)。 ex： syms a b c d e m=a 0 b;b 1 0;c d e m= a, 0, b b, 1, 0 c, d, e det(m) ans= a*e+b2*d-c*b 亦可對此陣列做運算，例如求其det。,4.建立複數變數,sym函數亦可用來指定某個變數是否為實數(real number)。 當變數指定為實數，對於某些運算會相當方便。 ex： syms x y real imag(x) ans = 0 imag(y) ans = 0 因為xy接為實數，所以求其虛部0, z=x+y*i z = x+i*y conj(z) ans = x-i*y 給定一複數z，求其共軛解。 abs(z) ans = (x2+y2)(1/2) 求出z之modulus，即為複數平面上，複數向量z之長度。 (note：abs用於實數時，功用為絕對值。),syms x y unreal 將xy移除實數屬性。 whos Name Size Bytes Class ans 1x1 154 sym object x 1x1 126 sym object y 1x1 126 sym object z 1x1 134 sym object Grand total is 26 elements using 540 bytes 即使移除了實數屬性，其性質仍為符號。 abs(z) ans = abs(x+i*y) 因為x y無法確定為實數，所以無法得知其modulus，所以 以原式回應。,4.任意精準度的計算,Symbolic Math toolbox裡提供了三種不同的精準度運算。 Numeric Matlab內建的浮點數運算 Rational Maple的精確值分數運算 Vpa Symbolic Math內的任意精準運算,Vpa任意精準度運算,Vpa為variable precision arthmetic的縮寫，全名為變動精 準度的數學運算，可以使用任意精準度來算數學式。,ex：圓週率pi pi ans= 3.1416 Matlab預設小數點後面四位。 digits Digits=32 Vpa(pi) ans= 3.1415926535897932384626433832795 小數點後為32位,digits(10) Digits=10 vpa(pi) Ans= 3.1415926535 小數點後面為10位 vpa(sqrt(2)+sqrt(3),15) ans= 3.146264369941972 亦可自己指定精準度來計算某個算式。,基本代數運算,1.代數的基本處理,Ex： syms a b expand(a+b)3) ans = a3+3*a2*b+3*a*b2+b3 將(a+b) 3展開得到上式 factor(ans) ans = (a+b)3 再將上式因式分解，即為原式(a+b)3,expand亦可用於對三角函數與指數函數展開。 ex： syms a b expand(cos(a+b) ans = cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) 上式即為cos之合角公式。 ex： expand(exp(a+b2+3) ans = exp(a)*exp(b2)*exp(3),Ex： F=expand(a+b)*(a2+b2+1) F = a3+a*b2+a+a2*b+b3+b collect(F,a) ans = a3+a2*b+(1+b2)*a+b3+b collect(F,b) ans = b3+a*b2+(1+a2)*b+a3+a 以上為collect之例，將同一雙變數多項式F，變為分別為以 a為變數之多項式以及以b為變數之多項式。,simplify,Ex：化簡 syms a b x simplify(exp(4*log(sqrt(a+b) ans = (a+b)2 Ex：化簡 simplify(x2+2*x+1)/(x+1) ans = x+1,subs,Ex：將數字2帶入多項式 中。 syms x a subs(x2+2*x+1,2) ans = 9 將符號(a+1)帶入 中，並化簡之。 subs(x2+2*x+1,a+1) ans = (a+1)2+2*a+3 simplify(ans) ans = a2+4*a+4,subs函數亦可進行多個變數的代換。 Ex： syms a b x subs(sin(a+b),a,b,sym(R),x) ans = sin(R+x) 上式為分別將sin(a+b)中的ab置換成符號R及x。, Q=subs(sin(a+b),a,magic(2) Q = sin(1+b), sin(3+b) sin(4+b), sin(2+b) Matlab會自動先計算magic(2)+b的運算，在對矩陣裡的每個 元素進行sin運算。 subs(Q,sym(sqrt(2) ans = sin(1+2(1/2), sin(3+2(1/2) sin(4+2(1/2), sin(2+2(1/2) eval(ans) ans = 0.6649 -0.9559 -0.7637 -0.2693,2.多項式與分式的相關運算,與多項式運算相關之指令,poly2sym，sym2poly與coeffis Ex： syms x y P=poly2sym(1 2 3 4 5,x) P = x4+2*x3+3*x2+4*x+5 sym2poly(P) ans = 2 3 4 5 coeffs(P) ans = 5, 4, 3, 2, 1 ,Ex：多項式 syms x y Q=6*x2*y2+2*x*y-7*y3 Q = 6*x2*y2+2*x*y-7*y3 coeffs(Q) ans = 6, 2, -7 coeffs(Q,x) ans = -7*y3, 2*y, 6*y2 coeffs(Q,y) ans = 2*x, 6*x2, -7 ,若未對多項式指定某特定變數，則 matlab無法判別，即會以原多項式符 號皆當作變數，對其取係數，但不排 列大小。,Ex：多項式 syms x y coeffs(x+y)*(x2+y2),x) ? Error using = sym.maple Error, invalid arguments to coeffs Error in = sym.coeffs at 35 c = maple(coeffs,p,x); 將上多項式展開後 coeffs(expand(x+y)*(x2+y2),x) ans = y3, y2, 1, y,利用coeffs取出多項式的係數時，多項式必須為標準型式，亦即必須為展開後的式子，否則指令無法執行。,n,d=numden(expr) Ex： n,d=numden(sym(12/5) n = 12 d = 5 ,Ex： syms x R=(x3+2*x2+3*x+6)/(x2+3) R = (x3+2*x2+3*x+6)/(x2+3) n=numden(R) n = x3+2*x2+3*x+6 q=numden(R) q = x3+2*x2+3*x+6 ,使用numden指令時，若只給予一個變數，則此指令只會傳回分子部分。左例的n或是q，都皆為R的分子。,q,r=quorem(expr) Ex： q,r=quorem(x5,x2+3) q = x3-3*x r = 9*x 以下驗證 q*(x2+3)+r ans = (x3-3*x)*(x2+3)+9*x simplify(ans) ans = x5 ,方程式求解,1.簡單的solve函數 solve算是symbolic math toolbox的全能求解函數，功能與 fzero函數有很大的不同。fzero函數僅能解數值解，而solve 可解符號解。 基本指令用法,Ex：解 syms a b c x y eqn=a*x2+b*x+c eqn = a*x2+b*x+c sol=solve(eqn,x) sol = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) simplify(ans) ans = -1/2*(b-(b2-4*a*c)(1/2)/a -1/2*(b+(b2-4*a*c)(1/2)/a,以下驗證 subs(eqn,sol) ans = 1/4/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)2+1/2*b/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)+c 1/4/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)2+1/2*b/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)+c simplify(ans) ans = 0 0 ,復數解 solve(x3+x-2) ans = -1/2+1/2*i*7(1/2) -1/2-1/2*i*7(1/2) 三角函數解 solve(2*asin(3*x)-acos(5*x) ans = -5/36+1/36*97(1/2) ,Ex：解 之x解。 solve(2*cos(3*x)2-4*y,x) ans = 1/3*acos(2(1/2)*y(1/2) 1/3*pi-1/3*acos(2(1/2)*y(1/2) 以下驗證 subs(2*cos(3*x)2-4*y,ans) ans = 0 0 ,指數函數解 解 solve(x(1+log2(x)-(2*x)3) ans = 2*exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2) 2/exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2) ,以下驗證 subs(x(1+log2(x)-(2*x)3,ans) ans = (2*exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)(1+log(2*exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)/log(2)-64*exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)3 (2/exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)(1+log(2/exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)/log(2)-64/exp(log(2)2+log(8)*log(2)(1/2)3 simplify(ans) ans = 0 0 ,絕對值函數 Ex： syms x y sol(abs(x2-4)-2) solve(abs(x2-4)-2) ans = 6(1/2),-6(1/2),2(1/2),-2(1/2) eval(ans) ans = 2.4495 -2.4495 1.4142 -1.4142 ,求解聯立方程式,Solve亦可解決聯立方程式問題，