《MATLAB数值运算》PPT课件.ppt

第3章 MATLAB数值运算,主讲：刘忠伟,3.1 多项式,matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 如： f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用行向量 p=an an-1 a1 a0表示,一、多项式的表达和创建,多项式f(x)= s4+1 可用行向量 p=1 0 0 0 1表示,3.1 多项式,二、多项式的四则运算,多项式的四则运算包括多项式的加减运算及乘法、除法运算。,多项式的加减运算在阶次相同的情况下可直接运算，若两个相加减的多项式阶次不同，则低价多项式必须用零填补高阶系数，使其与高阶多项式有相同的阶次。,或者自定义函数来完成，详见教材P66的polyadd(请同学们上机时做一下）。,1、多项式的加减运算,3.1 多项式,二、多项式的四则运算,2、多项式的乘法运算,函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。,例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c (x)= = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=1 2 3;b=4 5 6; c=conv(a,b) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 c(x)= 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 18,3.1 多项式,二、多项式的四则运算,3、多项式的除法运算,函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。 deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,3.1 多项式,三、多项式的求值和求根运算,1、多项式求值,MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。,3.1 多项式,三、多项式的求值和求根运算,（1）代数多项式求值 polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为： Y=polyval(P,x) 若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,3.1 多项式,三、多项式的求值和求根运算,（2）矩阵多项式求值 polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。,3.1 多项式,三、多项式的求值和求根运算,2、多项式求根,n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为： x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。,3.1 多项式,三、多项式的求值和求根运算,2、多项式求根,例： 求多项式x4+8x3-10的根。 命令如下： A=1,8,0,0,-10; x=roots(A) 若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为： P=poly(x) 若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,3.1 多项式,四、多项式的构造,利用工具箱中的函数poly2sym来构造多项式。,例： 构造多项式x4+3x3-15x3-2x+9的根。 命令如下： A=1,3,-15,-2,9; poly2sym(A),3.2 插值和拟合,一、插值 插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。 当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。 Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择。 多项式插值函数：interp1,二、拟合 拟合函数：polyfit 调用方法： P=polyfit(x,y,n) p,s=polyfit(x,y,n) 说明：x,y为已知的数据组，n为要拟合的多项式的阶次，向量p为返回的要拟合的多项式的系数，向量s为调用函数polyval获得的错误预估计值。,3.2 插值和拟合,3.5 稀疏矩阵,矩阵的存储方式： 1.全元素(Full) 存储 完全矩阵 2.稀疏(Sparse)存储稀疏矩阵 稀疏矩阵存在的必要性： 对大多数元素数值为0的矩阵，若采用满阵方式表示，则0元素将占用相当的存储空间。 稀疏矩阵的特点： 只存储“非零元素”值(按列)和“非零元素”的位置,3.5 稀疏矩阵,对大多数元素数值为0的矩阵，创建稀疏矩阵 稀疏矩阵建立指令 sparse 1、 B = sparse (A) 例. A = 2 0 0 0; 0 0 0 1; 0 4 0 0 A = 2 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 0 B = sparse (A) B = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1,一、稀疏矩阵的建立, C=1 2 3 4;5 6 7 8;3 7 2 9; C = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 7 2 9 B+C ans = 3 2 3 4 5 6 7 9 3 11 2 9,3.5 稀疏矩阵,一、稀疏矩阵的建立,2、 S = sparse (i,j,s,m,n) “三元组”表示法 i 非零元素所在的行序号 j 非零元素所在的列序号 s 非零元素的数值 m 矩阵的行 n 矩阵的列,3.5 稀疏矩阵,例 15 0 0 22 0 -15 0 11 3 0 0 0 A= 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 91 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 s=15 91 11 3 28 22 -6 -15; i=1 5 2 2 6 1 3 1; j=1 1 2 3 3 4 4 6; A=sparse(i,j,s,6,6) A = (1,1) 15 (5,1) 91 (2,2) 11 (2,3) 3 (6,3) 28 (1,4) 22 (3,4) -6 (1,6) -15, full(A) ans = 15 0 0 22 0 -15 0 11 3 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 91 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0,3.5 稀疏矩阵,例 A = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) A = ? full(A) ans = ?,3.5 稀疏矩阵,例 A = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) A = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 full(S) ans = ?,3.5 稀疏矩阵,例 A = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) A = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 full(A) ans = 2 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 0,3.5 稀疏矩阵,在MATLAB命令行窗口 中键入指令help sparfun， 可以得到稀疏矩阵运算函 数列表,3.5 稀疏矩阵,1、speye（创建单位稀疏矩阵） speye(m,n)在行、列相同位置上的元素值为“1”，其余位置上的元素值为“0” speye(m)是speye(m,m)的简写。在对角线上的元素值为“1”，其余位置上的元素值为“0” 例： A=speye(3,4) A = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 full(A) ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0,3.5 稀疏矩阵,2、find（获取矩阵非零元素的索引向量）find(A) 例： S = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) S = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 find(S) ans = 1 6 11,3.5 稀疏矩阵,3、nonzeros（获取矩阵的非零元素向量）nonzeros(A) 例： S = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) S = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 nonzeros(S) ans = 2 4 1,3.5 稀疏矩阵,4、nnz（获取矩阵的非零元素的个数）nnz(A) 例： S = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) S = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 nnz(S) ans = 3,3.5 稀疏矩阵,5、spones（将稀疏矩阵中的非零元素用数字1代替）spones(A) 例： S = sparse (1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4) S = (1,1) 2 (3,2) 4 (2,4) 1 A=spones(S) A = (1,1) 1 (3,2) 1 (2,4) 1, full(A) ans = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1