不可压缩流体动力学基础.ppt

第七章 不可压缩流体动力学基础,参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。,第一节 流体微团运动的分解,一、物理模型,各点速度关系:,M点速度:,C点速度:,B点速度:,二、物理意义（以平面流动进行分析）,1.平移运动,向左移动,向上移动,流体力学,2.线变形运动,每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度,同理y向线变形速度：,B、C在x方向有速度差,经过dt时间BC边伸长,单位时间单位长度的伸长：,3.角变形运动,B、C在y方向有速度差：,在dt时间内BC线段将旋转：,同理，AB在dt时间线段将旋转：,单位时间内直角ABC变成锐角ABC，变形速度为：,定义XY平面的剪切变形率为：,同理可得：,4.旋转运动,流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。,规定逆时针旋转角度为正：,BC边旋转的角度为：,BA边旋转的角度为：,轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：,流体力学,流体质点速度表达为：,Y和Z方向的速度由同学们自己分析！,根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。,第二节 有旋运动,在笛卡儿坐标系中：,即当流场速度同时满足：,时流动无旋,需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。,流体力学,1.涡量场,涡量连续性方程的表示：,2.涡管 涡束,在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。,涡管,3.涡通量,旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。,涡通量,有限截面涡管的涡通量,4. 速度环量,涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。,实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。,可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。,速度环量：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。,速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.,规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。,速度环量,5.斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。,斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。,6.汤姆孙（W. Thomson）定理：,对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。,正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。,斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。,第三节 微分形式的连续性方程,当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。,选取一微元体，中心点为 M（x，y，z），密度为，边长分别为x，y，z，且分别平行于x，y，z轴。,M点速度：,N点x方向速度分量：,N点坐标：,N点密度：,通过以N点为中心流入微元体的质量流量,x方向速度分量：,通过以O点为中心流出微元体的质量流量,O点坐标：,O点密度：,净流入流入流出,z方向：净流入,净流入微元体质量流量,净流入微元体质量流量流体质量增长率,根据质量守恒定律：,单位时间微元体流体质量增长率：,得,流体力学,代入上式,得, 直角坐标系下连续性方程的一般形式。,（很多工程上问题可看成不可压缩流体，因此在很多推导中会用到此结果）,讨论：,（表明对恒定流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）,2） 对不可压缩流体流动,或,(流速矢量的散度),1） 对恒定流动,例 三维不可压缩流场，已知 且已知 试求流场中Vz的 表达示。 解：对不可压缩流场,而,代入上式得,即,处,流体力学,流体力学,第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程,一、黏性流体的内应力(应力状态),流体力学,静止状态,流体力学,粘性流体运动状态,二、以应力表示的运动微分方程,第一个下标表示应力所在平面的法线方向。,第二个下标表示应力本身的方向。,第五节 应力和变形速度的关系,三元流牛顿内摩擦定律，由一元流牛顿内摩擦定律推广得：,一、切应力和角应变速度的关系,假若流体的粘度在个方向上都是相同的可得,在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。,二、法应力和线变形速度的关系,对可压缩流体推导的结果如下：,第六节 纳维斯托克斯方程,现将切向应力和法向应力的关系式代入平衡方程式,化简可得不可压缩粘性流体的运动微分方程：,纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程,N-S方程的另一种形式为（不可压缩流体的运动）：,以上三式加上不可压缩流体的连续方程：,共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中的四个未知数 和p。但是，实际上由于流体流动现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。,第七节 理想流体的运动微分方程及其积分,一、运动微分方程,当流体为理想流体时，运动黏度 ，N-S方程简化为：,将加速度的表达式代入,其矢量式为 ：,公式为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。,流体力学,如果流体处于静止状态，则上式简化为：,此即欧拉平衡方程流体平衡微分方程。,一、定解条件,方程组的封闭问题,还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。,对于不可压缩流体，,对于密度仅是压强的函数的流体,第八节 流体运动的初始条件及边界条件,方程组的定解条件,1、初始条件,初始条件是指在起始瞬时t0所给定的流场中每一点的流动参数。,也就是说，求得的解在t0时所应分别满足的预先给定的坐标函数。,定常流动不需要给定初始条件。,2、边界条件,边界条件是指任一瞬时运动流体所占空间的