概率论与数理统计第七章第三节.ppt

1,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.,7.3 区间估计,2,也就是说，我们希望确定一个区间，同时给出一个可信程度, 使其他人相信它包含参数真值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可信程度”是用概率来度量的，称为置信水平(置信度).,3,定义：设总体X的分布类型已知，但有未知参数,对于给定（01), 若由样本X1,Xn确定的两个统计量 使,则称区间 为 的置信水平为1的置信区间,4,通常，采用95%的置信水平，有时也取99%或90%,注: 1、置信区间 是一个随机区间,它能以足够大的概率（1- ）套住未知参数的真值。 2、置信区间的观测值, 是一个普通区间,也称置信区间。,5,区间估计 的一般求法,6,枢轴量,仅含有一个未知参数，但其分布已知的样本函数称为枢轴量,如：设X1,X2,Xn是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,7,（一）单个总体,(1) 2已知,1、区间估计,枢轴量,置信区间,8,m置信区间:,即得,枢轴量,(2) 2未知,令,9,10,求正态总体均值的置信度为1- 的置信区间的步骤小结,方差已知,方差未知,1. 由样本值计算,2. 查标准正态分布函数值表得 u1-/2,4. 写出置信区间,1. 由样本值计算,2. 查自由度为n-1的t分布上侧分位数表得 t1-/2(n-1),3. 计算,4. 写出置信区间,3. 计算,11,2、2区间估计(未知),枢轴量,令,可得,12,s2的置信区间,可得,s的置信区间,13,例 某自动包装机包装的洗衣粉重量服从正态分布，今随机抽查12袋，测得其重量（单位：克）分别为：1001，1004，1003，997，999，1000，1004，1000，996，1002，998，999。求2 的置信度为0.95的置信区间。,解： 未知，2 置信区间为,1- =0.95, /2 =0.025. 查得,所以, 2 的置信度为0.95 的置信区间为,14,例 食品厂从生产的罐头中随机抽取15个称量其重量，得样本方差s2 =1.652（克2 ），设罐头重量服从正态分布，试求其方差的置信水平为90%的置信区间。,15,（二）两个总体,两样本独立,1- 2 的置信区间,枢轴量,16,枢轴量,其中,(2) 未知,1- 2 的置信区间,17, 下限0 上限0 包含 0,认为,没有显著差异,18,枢轴量,19,例 为比较、两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取型子弹10发，得枪口速度的平均值为x=500(m/s),标准差 s1=1.10(m/s);随机地取型子弹20发，得枪口速度的平均值为y=496(m/s),标准差s2=1.20(m/s).假设两总体都近似服从正态分布，且方差相等. 求两总体均值差1- 2的一个置信度为0.95的置信区间。,解： 1- 2置信区间为：,故得1- 2的置信度为0.95 的置信区间为,n1=10,n2=20, 1-=0.95, /2=0.025， t0.975(28)=2.048,置信下限大于0，我们认为1 比2大.,20,例 研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的钢管18只，测的样本方差s12=0.34(mm2); 抽取机器B生产的钢管13只，测的样本方差s22=0.29(mm2). 设两总体相互独立，且分别服从正态分布N(1, 12) ,N(2, 22) ， 1,2, 12, 22均未知. 求方差比的置信水平为0.90的置信区间.,解： 12/ 22的置信区间为：,故12/ 22的置信度为0.90 的置信区间为,n1=18,n2=13, 1-=0.90, /2=0.05 F/2(n1-1,n2-1)= F0.05(17,12)= 1/ F0.05(12,17)=1/2.38 F1-/2(n1-1,n2-1)=F0.95(17,12)= 2.59,置信区间包含1，我们认为12, 22两者无显著差别.,21,单侧置信区间,22,又若统计量 满足,23,例:的单侧区间估计（2未知）,枢轴量,即,(1)若, 的单侧置信下限：,24,即,(2) 若, 的单侧置信上限：,25,例: 2 的单侧区间估计（ 未知）,枢轴量,或, 2的单侧置信上、下限分别为：,26,设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限.,例从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,27,一个正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(P205),置信区间,待估参数,枢轴量的分布,其它参数,单侧置信限,2,2已知,2未知,