直线平面垂直的判定及其性质.ppt

直线、平面垂直的判定及其性质,定义：如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，则称直线l和平面 互相垂直。,直线与平面垂直的定义：,直线l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l的垂面，惟一的公共点A叫做垂足,直线与平面垂直的判定：,l,m,n,a,a,a,b,直线与平面垂直的性质：,练习1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内， 则“l”是“lm且ln”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,练习2.若P是平面外一点,则下列命题正确的是( ) A.过P只能作一条直线与平面相交 B.过P可作无数条直线与平面垂直 C.过P只能作一条直线与平面平行 D.过P可作无数条直线与平面平行,D,二面角及有关的概念,二面角:从一条棱出发的两个半平面所组成的图形,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 范围：001800.,定义法,垂线法,平面与平面垂直,定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂直,画法:,判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直,练习3.（2009广东理，5）给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和,D,练习4.（2008湖南文，5）已知直线m、n和平面、 满足mn，m，则( ) A.n B.n，或n C.n D.n,或n,D,练习5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面.若m,n,则mn;若, ,则；若m,n,则mn;若, ,m,则m.正确的命题是( ) A. B. C. D.,C,类型一：线面垂直的判定与性质,证明 （1）连接AC，AN，BN， PA平面ABCD，PAAC， 在RtPAC中，N为PC中点， PA平面ABCD， PABC，又BCAB，PAAB=A， BC平面PAB，BCPB， 从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线， AN=BN， ABN为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，MNAB， 又ABCD，MNCD.,(2)连接PM、CM,PDA=45,PAAD, AP=AD. 四边形ABCD为矩形，AD=BC， PA=BC. 又M为AB的中点，AM=BM. 而PAM=CBM=90,PM=CM. 又N为PC的中点，MNPC. 由（1）知，MNCD，PCCD=C, MN平面PCD.,知能迁移1 RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC， D为斜边AC中点.（1）求证：SD面ABC； （2）若AB=BC，求证：BD面SAC.,故DEBC，,A,B,C,D,H,E,练习7,例2：如图所示，在四棱锥PABCD中， 平面PAD平面ABCD，ABDC， PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥PABCD的体积.,类型二：面面垂直的判定与性质,(1)证明 在ABD中,AD=4,BD=8,AB=4 ,在底面四边形ABCD中，,ABDC，AB=2DC，,四边形ABCD为梯形.,在RtADB中，斜边AB边上的高为,此即为梯形的高.,又PAD是边长为4的等边三角形，,PO=,PO面ABCD，,(2)解过P作POAD，面PAD面ABCD，,即PO为四棱锥PABCD的高.,又BD面BDM，面MBD面PAD.,面PAD面ABCD=AD，,BD面ABCD，BD面PAD.,又面PAD面ABCD，,AD2+BD2=AB2.ADBD.,知能迁移2 在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：ADCC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M, 若AM=MA1,求证：截面MBC1侧面BB1C1C.,（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N. AM=MA1，NA1=A1B1. A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1. 截面NB1C1侧面BB1C1C， 面NB1C1面BB1C1C=C1B1，C1N侧面BB1C1C. C1N 面C1NB， 截面C1NB侧面BB1C1C.即截面MBC1侧面BB1C1C.,CC1面BB1C1C，ADCC1.,C1NC1B1,AD侧面BB1C1C.,面ABC面BB1C1C=BC，,底面ABC平面BB1C1C，,证明 (1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.,斜线与平面所成的角,平面的一条斜线,和它在这个平面内的射影,所成的锐角,当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90,当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是0,斜线与平面所成的角,（ 0, 90）,直线与平面所成的角, 0, 90,异面直线所成的角,（ 0, 90,最小角定理,平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是这条斜线和平面内任一条直线所成的角中最小的角。,空间角之间的联系,类型三：线面角的求法,例4：如图所示，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD,PA=AD=AB=2BC, M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PBDM； （2）求BD与平面ADMN所成的角.,类型三：线面角的求法,在RtBDN中，,BDN=30,即BD与平面ADMN所成的角为30,BDN是BD与平面ADMN所成的角，,PB平面ADMN，,（2）解 连接DN，,DM 平面ADMN，PBDM.,又ADAN=A，PB平面ADMN.,PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.,PA平面ABCD，PAAD.,ANPB.BAD=90，ADAB.,（1）证明 N是PB的中点，PA=AB，,知能迁移3 如图所示，四面体ABCS中， SA、SB、SC两两垂直，SBA=45， SBC=60，M为AB的中点.求： （1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成的角的正切值.,解 （1）SCSB，SCSA， SBSA=S，SC平面SAB， BC在平面SAB上的射影为SB. SBC为BC与平面SAB所成的角. 又SBC=60,故BC与平面SAB所成的角为60.,平面SMC平面ABC.,AB平面SMC，,由（1）知ABSC，ABSM=M，,SMAB，,ASB为等腰直角三角形，,SBA=45，,（2）连结MC，在RtASB中，,例5：如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC= ，AC=2 ，AB= ，BC= .（1）求证：PD平面ABC； （2）求二面角PABC的正切值大小.,类型四：二面角的求法,（1）证明 连结BD， D是AC的中点，PA=PC= ， PDAC. AC= ，AB= ，BC= ， AB2+BC2=AC2. ABC=90，即ABBC. PD2=PA2-AD2=3，PB= ， PD2+BD2=PB2.PDBD. ACBD=D，PD平面ABC.,（2）解 取AB的中点E，连结DE、PE， 由E为AB的中点知DEBC， ABBC，ABDE. PD平面ABC，PDAB. 又ABDE，DEPD=D， AB平面PDE，PEAB. PED是二面角PABC的平面角. 在PED中， PDE=90, 二面角PABC的正切值为 .,知能迁移4 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，且ADBC，ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP. （1）求证：平面PCD平面PAD； （2）求证：直线PD平面EAC； （3）求二面角BACE的余弦值.,（1）证明 PA平面ABCD，DC平面ABCD， DCPA. 又ADDC，且PA与AD是平面PAD内两相交直线， DC平面PAD. 又DC平面PCD， 平面PCD平面PAD. 在等腰直角ADC中，ADDC，,又ADBC，ACB=DAC=,又EF平面EAC，PD平面EAC，直线PD平面EAC.,又BE=2EP，PDEF.,BCAD且BC=2AD，BF=2FD.,由AD=DC=a，易知AB=AC= a，BC=2a，,（若B为直角，则与底面ABCD是直角梯形相矛盾）.,又ABC为等腰直角三角形， 且底面ABCD是直角梯形，,（2）证明 连结BD，设BD与AC相交于点F，连结EF，,在等腰直角ADC中，ADDC，,（3）解 过点