《幂函数的概念》PPT课件.ppt

1. 了解幂函数的概念 2结合函数yx，yx2，yx3，y ，y 的图象， 了解它们的变化情况.,【考纲下载】,第7讲 幂函数,一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数对于幂函数，一般只讨论1,2,3， ，1时的情形 提示：yx2是幂函数 y2x不是幂函数，是指数函数 二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置， 而指数函数的自变量在指数位置,yx(R),1幂函数的定义,在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，y ，yx1的图象 分别如下图,提示：幂函数yx(R)随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定,2幂函数的图象,3幂函数的性质,定义域,值 域,奇偶性,单调性,定 点,函数,特 征,性质,yx,yx2,yx3,yx,yx1,R,R,R,0，),x|xR且 x0,R,R,0，),0，),y|yR且 y0,奇,奇,奇,偶,非奇非偶,增,增,增,x0，) 时，增 x(，0 时，减,x(0，) 时，减 x(，0) 时，减,(0,0)，(1,1),(1,1),1设 ，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有 值为( ) A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 解析：根据幂函数的定义和性质易得x1,3时，定义域为R且为奇函数 答案：A,2给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象 限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A3 B2 C1 D0 解析：原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误 答案：C,3已知点 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是( ) Af(x)x3 Bf(x)x3 Cf(x) Df(x) 解析：设幂函数f(x)x (R)，则 3，f(x)x3. 答案：B,4若函数f(x) ，则f(f(f(0) _. 解析：f(f(f(0)f(f(2)f(1)1. 答案：1,有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进 行比较一般地，几种幂值的比较方法如下： 幂的底数相同，指数不同型 可以利用指数函数的单调性进行比较 幂的底数不同，指数相同型 可以利用幂函数的单调性进行比较 幂的底数不同，指数不同型 常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小， 确定两个幂值的大小,(1) 和 ； (2) ； (3)0.20.5和0.40.3. 思维点拨：利用性质、中间值作转化 解：(1) ，由于幂函数y 在(0，)上是减函数， 所以,【例1】 比较下列各组值的大小：,(2)由于 因此 (3)由于指数函数y0.2x在R上是减函数， 所以0.20.50.20.3. 又由于幂函数yx0.3在(0，)是递增函数， 所以0.20.30.40.3，故有0.20.50.40.3.,幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用,【例2】 点( ，2)在幂函数f(x)的图象上，点 在幂函数g(x)的 图象上，问当x为何值时，有f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x) 思维点拨：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式， 再利用图象判断即可,解：设f(x)x，则由题意得2( )，2， 即f(x)x2，再设g(x)x，则由题意得 (2)， = -2，即g(x)= ，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象， 如图所示 由图象可知： 当x1或x-1时，f(x)g(x)； 当x=1时，f(x)=g(x)； 当-1x1且x0时，f(x)g(x),变式2：方程 logsin 1x的实根个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1 = 和y2 = y2=logsin 1x的图象，可知只有唯一交点(如右图所示) 答案：B,对幂函数性质的考查，主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查 【例3】 已知幂函数f(x)xm22m3 (mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是 减函数 (1)求函数f(x)的解析式； (2)讨论函数(x)a 的奇偶性,解：(1)幂函数f(x)在(0，)上是减函数， m22m30，1m3.又mZ， m0,1,2，m22m33或4. 又f (x)为偶函数，f (x)x4. (2)由(1)得(x) bx3，(x) bx3. 当a0，且b0时，b (x)为非奇非偶函数； 当a 0，且b0时，(x)为奇函数； 当a 0，且b0时，(x)为偶函数； 当a 0，且b0时，(x)既为奇函数又为偶函数,变式3：已知幂函数f(x)的图象过点( ，3 )，函数g(x)是偶函数， 且当x0，)时，g(x) .求f(x)与g(x)的解析式 解：设f(x)x，其图象过( ，3 )点， 故3 ( )，即( )3( )， 3，故f(x)x3. 令x(，0)，则x(0，) g(x),又g(x)是偶函数，故g(x)g(x)， g(x)(x) ，x(，0)， g(x) 故g(x) （xR).,【方法规律】,1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数 2在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,已知幂函数y (mN*)的图象关于y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足 的a的取值范围,【阅卷实录】,解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式组在这里极易出现认为函数在(，0)和(0，)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区从而误用性质产生错误，事实上由幂函数y 的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域的两个子集上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是a1032a这种情况容易被忽略，应引起注意,【教师点评】,解：函数在(0，)上单调递减， m22m30，解得1m3. mN*，